algebra

1 Determinante de una Matriz.
Sea la matriz cuadrada A = (aij ) de orden n, llamaremos determinante de la matriz A, al número real que está
relacionado con los elementos aij de la matriz. Simbolizado por |A| = det(A).
a
c


b
d

= ad − bc.

a11 a12 a13
a
a
a
a
Para n = 3, det(A) =  a21 a22 a23  = a11 22 23 − a12 21 23
a31 a33
a32 a33
a31 a32 a33
En general para una matrizde tamaño n se dispone de la fórmula de Laplace

Para n = 2, det(A) =

n

Det(A) =

A.

+ a13

a21
a31

a22
a32

(−1)i+j aij · det(Aij ), donde Aij =submatriz obtenida de A al eliminar la la i y la columna j de

j=1

Por ejemplo: 
Ejemplo
1
det(A) = det  1
0

2
−2
0


0
1 
1

(si usamos la la 1): det(A) = 1 · det

−2
0

(si usamos la columna 3):det(A) = 0 · det
Propiedades

1
1
1
0

− 2 · det
−2
0

1
0

1
1
1
0

− 1 · det

−2
0
1
+ 1 · det
1
1
0

+ 0 · det
2
0

= −2 − 2 = −4.
2
−2

=0+0-4=-4

ˆ |I| = 1.
ˆ AT = |A|
ˆ A−1 =

1
|A|

ˆ |Am | = |A| ,m ∈ N.
m

ˆ Si se intercambian 2 las o 2 columnas el determinante cambia de signo.
ˆ Si una la o columna se multiplica por una constante k ,entonces el determinante queda multiplicada por
dicha constante . Es decir |kA| = kn |A|
ˆ Si a una la (columna) se multiplica por una constante y se suma a otra la (columna) el determinante no

varía.

ˆ Si una la o columna de la matriz tiene todos sus elementos nulos, el determinante es 0.
ˆ Un determinante se puede factorizar por las o columnas
ˆ det(AB) = det(A) · det(B).



a11
0

ˆ Si A es una matriz es diagonal, es decir de la forma A =  .
 .
.
0
a11 · a22 · · · · · ann .

0
a22

···
···

0

...

.
.
.



..

.

a11
 a21

ˆ Si A es una matriz es triangular inferior, es decir de la forma A =  .
 .
.
an1
det(A) = a11 · a22 · · · · · ann .

1

0
0
0
ann
0
a22

.
.
.

an2




 , entonces det(A) =


······

..

.

...

0
0
0
ann




 , entonces




a11
 0

ˆ Si A es una matriz es triangular superior, es decir de la forma A =  .
 .
.
0
det(A) = a11 · a22 · · · · · ann

a12
a22

···
···

0

...

.
.
.

..

.


a1n
a2n 

. , entonces
. 
.
ann

ˆ Si expresamos cada coeciente de una la o columna como la suma de dos términos,el determinante es

igual a la suma de dos determinantes en cada uno de los cuales falta uno de los sumandos de cada coe



a1

a2

a3

a1

d1

d2

d3

d1

ciente de aquella la o columna. En particular: det  b1 + c1 b2 + c2 b3 + c3  = det  b1


a1
det  c1
d1

a2
c2
d2

a2
b2
d2

a3
b3  +
d3


a3
c3 
d3

2 Rango de una matriz
Sea lamatriz A = (aij ) de tamaño m × n, diremos que el rango de la matriz A es p , si existe una submatriz
cuadrada B obtenida de A de tamaño p × p tal que el determinante de B es no cero y el determinante de cualquier
submatriz cuadrada de A de orden mayor que B es cero, donde p ≤ m´nimo(m.n)
ı
Si A = (aij ) de tamaño m × n es la matriz su rango se simboliza por rang(A) = ρ(A) = p.
Propiedades
ˆrang(A) = ρ(A) ≤ m´nimo(m, n)
ı
ˆ rang(A) = rang(AT )
ˆ Si A = (aij ) es de tamaño n × n ,el rang(A)< n, si y sólo si det(A) = 0

3 Operaciones Elementales sobre las las de una matriz.
Una forma práctica de hallar el rango de una matriz, la inversa de una matriz, el determinante de una matriz y la
solución de un sistema de ecuaciones lineales, es reduciendo una matriz dada en otraequivalente, pero mas simple
realizando operaciones elementales sobre las las de la matriz dada.
Las operaciones permitidas sobre las las de la matriz son:
ˆ Permutar dos las, símbolo Fi ↔ Fj
ˆ Multiplicar una la por un escalar o real k= 0, símbolo: Fi ↔ kFi
ˆ Sumar a una la el múltiplo de otra la, símbolo Fi ↔ kFj + Fi


2
 1
Tarea:Usando operaciones elementales determine det(A) = det ...