algebra

UNIVERSIDAD NACIONAL DE LA MATANZA
DEPARTAMENTO DE INGENIERIA E INV. TECNOLOGICAS
ALGEBRA Y GEOMETRIA ANALITICA II / MATEMATICA DISCRETA II
AUTOVALORES Y AUTOVECTORES
Vamos a partir de una pregunta general que podemos hacernos respecto a una
transformación lineal.
Sea T:V → V una transformacion lineal que va de un espacio vectorial V al mismo
espacio vectorial V.
¿Será posible encontrarun vector v ∈ V , tal que T( v ) = λ v ? O sea , ¿será posible
encontrar un vector perteneciente a V, tal que el transformado del mismo sea un vector
múltiplo de él? (Dejando el lado el vector nulo que sería una solución obvia)
Probemos con un ejemplo en particular
Sea T:R 2 → R 2 , tal que Tx, y =  8 x − 1 y; − 2 x + 7 y
3
3
3
3
Lo que estamos buscando es (al menos ) un vector tal queTx, y = λx, y con λ ∈ R ,
o sea  8 x − 1 y; − 2 x + 7 y = λx, y, o lo que es lo
3
3
3
3
8
1
2
mismo  3 − λx − 3 y; − 3 x +  7 − λy = 0, 0
3
Esta última ecuaciòn constituye un sistema homogéneo de ecuaciones lineales con dos
incógnitas en primer grado.
8
3

−λ

−2
3

−1
3
7
3

−λ

x
y

=

0
0

(1)

Como sabemos un sistema de tal tipo es siemprecompatible , pero en este caso vamos
a solicitar que sea compatible indeterminado , caso contrario la solución sería x, y = 0, 0 ,
que como planteamos anteriormente es una solución obvia que no deseamos.
Luego , para que dicho sistema sea incompatible es necesario que las ecuaciones no
sean independientes , o lo que es lo mismo pedir que la matriz de los coeficientes tenga
determinanteigual a cero.
Luego

8
3

−λ

−2
3

−1
3
7
3

−λ

= 0 (2) , lo que equivale a λ 2 − 5λ + 6 = 0 (3)

Por lo tanto partimos de la condiciòn (1) que establece condiciones sobre los vectores
x, y para arribar a la condición (2) que fija condiciones sobre los posibles valores del
parámetro λ a través de un polinomio en λ.(3).
Debemos hallar las posibles soluciones de estaecuación de segundo grado: las
mismas son λ = 3 y λ = 2
Sabemos entonces que para que se cumpla (1) los únicos valores posibles de λ son 2 y
3.Debemos hallar ahora los vectores relacionados con estos valores

Si λ = 3 reemplazando en (1) , resulta

1

8
3

−

−3
2
3

−1
3
7
3

−3

x

=

y

−1
3

−1
3

−

−

2
3

x

2
3

−1x−
3

=

y

1
3
2
3− x−
2
3

y
y

=

0
0

, lo

que da por resultado dos ecuaciones lineales en primer grado en x e y que dependen una
de otra (lo que era esperable de acuerdo a lo solicitado).

Las solución es y = −x , por lo tanto los vectores que cumplen la condición (1) para
λ = 3 , son de la forma x, −x o sea que el conjunto de vectores está generado por el
1, −1.
Si λ = 2 reemplazando en(1) , resulta
8
3

−

−2
2
3

−1
3
7
3

−2

x

=

y

2
3
−2
3

−1
3

x

1
3

y

2
3
1
3

=

x−
y−

1
3
2
3

y
x

=

0
0

, lo que

da por resultado dos ecuaciones lineales en primer grado en x e y que dependen una de
otra (lo que era esperable de acuerdo a lo solicitado).
Las solución es y = 2x , por lo tanto los vectores que cumplenla condición (1) para
λ = 2 , son de la forma x, 2x o sea que el conjunto de vectores está generado por el 1, 2.
Podemos representar en el plano a los vectores que hemos hallado.

y

5
4
y=2x

3
2
1
-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

-1
-2

4

5

x

y=-x

-3
-4
-5

Los vectores que cumplen con la condición (1) se llaman autovectores (o vectores
propios oeigenvectores) de la transformación lineal T , y los valores del parámetro λ ,
que hemos hallado se denominan autovalores (o valores propios o eigenvalores) de la
transformaciòn lineal T. El polinomio (3) se denomina polinomio característico de la
transformación lineal T.

2

Podemos demostrar que (en el caso de existir) los autovectores correspondientes a un
autovalor de una...