Algebra

42 problemas resueltos de Algebra I
(Teor´ıa de Grupos)
Yolanda Fuertes y Dragan Vukoti´
c
(con la ayuda de Ernesto Girondo)
Universidad Aut´
onoma de Madrid, 2007/08
Algunos de los ejercicios aqu´ı presentados se han visto en clase como
proposiciones o teoremas. Otros se pueden encontrar en las hojas de problemas o en los ex´amenes de a˜
nos anteriores. En general deber´ıan servir
paraprofundizar en la comprensi´on de los conceptos b´asicos y preparar
los ex´amenes.
Grupos. Propiedades b´
asicas: conmutatividad, orden, subgrupos,
´ındice
Problema 1. Si G es un grupo de orden par, demostrar que el n´
umero de
sus elementos de orden 2 es impar.
´ n. Los elementos de G pueden dividirse en dos clases disjuntas:
Solucio
Q = {x ∈ G : x2 = e} y G \ Q. Si x ∈ Q, entonces x =x−1 y o(x−1 ) = 2. Por
lo tanto, los elementos de Q van emparejados: cada x con su inverso x−1 ;
es decir, hay un n´
umero par de ellos. Se sigue que el n´
umero de elementos
2
en x ∈ G \ Q (para los cuales x = e) tambi´en es par. De todos ellos,
solamente x = e no es de orden 2. Conclusi´on: G contiene un n´
umero impar
de elementos de orden 2.
Problema 2. Sea G un grupo de ordenimpar. Demostrar que para cada
x ∈ G existe y ∈ G tal que y 2 = x.
´ n. Sea |G| = 2n − 1, n ∈ N. Entonces para todo x ∈ G se tiene
Solucio
= e, es decir, x2n = x. Por consiguiente, basta tomar y = xn .

x2n−1

Problema 3. Sea G un grupo y H, K ≤ G tales que |H| = 38 y |K| = 55.
Demostrar que H ∩ K = {e}.
´ n. H ∩K es un subgrupo tanto de H como de K. Por el Teorema
Solucio
de Lagrange,deducimos que |H ∩K| tiene que dividir tanto a |H| = 38 como
a |K| = 55. Pero 38 = 2 × 19 y 55 = 5 × 11 son coprimos, luego la u
´nica
posibilidad es |H ∩ K| = 1, es decir H ∩ K = {e}.
1

Problema 4. Denotemos, como es habitual, por HK al conjunto {hk : h ∈
H, k ∈ K}. Si G es un grupo y H, K ≤ G, demu´estrese que HK ≤ G si y
s´
olo si HK = KH.
´ n. (⇒): Sea HK ≤ G. Vamos a demostrar que HK= KH.
Solucio
Si a ∈ KH entonces a = kh, k ∈ K, h ∈ H. Por tanto, a−1 = h−1 k −1 ∈
HK (siendo H un grupo y h ∈ H, se sigue que h−1 ∈ H y an´alogamente para
K). Puesto que HK ≤ G, tambi´en tenemos que el inverso de a−1 pertenece
a HK: a = (a−1 )−1 ∈ HK. Esto demuestra que KH ⊂ HK.
Veamos ahora que HK ⊂ KH: si b ∈ HK entonces b−1 ∈ HK por ser
HK ≤ G; por consiguiente, b−1 = hk, para ciertoselementos h ∈ H, k ∈ K.
Por tanto, b = (b−1 )−1 = k −1 h−1 ∈ KH.
(⇐): Supongamos ahora que HK = KH. Para probar que HK ≤ G,
utilizaremos el criterio habitual: demostraremos que a, b ∈ HK implica
ab−1 ∈ HK. Si a, b ∈ HK, entonces a = hk, b = xy, h, x ∈ H, k, y ∈ K. Por
tanto, x−1 ∈ H, ky −1 ∈ K, luego (ky −1 )x−1 ∈ KH = HK; por consiguiente,
(ky −1 )x−1 = uv, u ∈ H, v ∈ K. Finalmente,
ab−1 =(hk)(y −1 x−1 ) = h(ky −1 )x−1 = (hu)v ∈ HK ,
lo cual completa la prueba.
Problema 5. (a) Hallar un ejemplo de un grupo G infinito en el cual existe
exactamente un elemento de orden 2.
(b) Dar un ejemplo de un grupo G infinito en el cual todo elemento,
salvo el neutro, tiene orden 2.
´ n. (a) Sea G = Z ⊕ Z2 , suponiendo las operaciones aditivas
Solucio
habituales en Z y Z2 . Es f´acilcomprobar que a = (0, 1) es el u
´nico elemento
en G de orden 2; por ejemplo, todo elemento (a, 1) con a = 0 tiene orden
infinito, etc.
(b) Sea G el conjunto de todas las sucesiones de n´
umeros ±1:
G = {x = (xn )∞
o 1 , para todo n ∈ N} ,
n=1 : xn = −1 ´
con la operaci´on de multiplicaci´
on definida por coordenadas:
x · y = (xn · yn )∞
n=1
Entonces es obvio que G es cerrado respecto ala operaci´on definida, ya que
(±1) × (±1) = (±1), la multiplicaci´
on es asociativa, la sucesi´on estacionaria
1 = (1, 1, 1, . . .) act´
ua como neutro y cada elemento de G es obviamente su
propio inverso, ya que x · x = ((±1)2 )∞
n=1 = 1.
2

Problema 6. Si n ∈ N y G es un grupo que tiene un u
´nico elemento a de
orden n, demostrar que a ∈ Z(G) y n = 2.
´ n. Recordemos que o(a) =...