algebra

Examen de Cálculo (Matemáticas I)1
27-I-2014

1. Expresa en forma binómica el complejo

i123 +1
i−2

y las raíces cúbicas de 8.

2. Demuestra por inducción que 22n + 15n − 1 es un múltiplo de 9 para todo n ∈ N.
3. Determina el valor de los siguientes límites:
lim

x→+∞

(3x2 + 1) 1 − cos x1
(x2 − 2) ln 1 +

1
x2

y

lim (x ln x).

x→0

4. Calcula los extremos absolutosy la imagen de la función f : [0, 2] → R definida por
f(x) = 3x4 − 8x3 − 6x2 + 24x + 1, para todo x ∈ [0, 2].
5. Encuentra (si existe) un punto sobre la gráfica de la parábola y = x2 cuya distancia al
punto (3, 0) sea mínima.
6. Analiza y representa gráficamente la función f : R\{−1} → R definida por f (x) =
para todo x ∈ R\{−1}. Puedes concretar el estudio en los siguientes apartados:

2x,
(x+1)2

i) Puntos de corte de la gráfica con los ejes de coordenadas.
ii) Asíntotas.
iii) Crecimiento, decrecimiento y extremos relativos.
iv) Concavidad, convexidad y puntos de inflexión.
v) Esbozo de la gráfica.

1

Todas las preguntas tienen el mismo valor (2 puntos). Puedes elegir libremente 5 ejercicios entre los seis
que se proponen.

Respuestas
1. Para todo entero k severifica que ik = ir donde r es el resto que resulta al dividir k entre
4 (se trata naturalmente de una división entera, sin decimales). Por tanto,
i123 + 1
i3 + 1
−i + 1
1−i
(1 − i) (−2 − i)
−3 1
=
=
=
=
=
+ i.
i−2
i−2
i−2
−2 + i
(−2 + i) (−2 − i)
5
5
Por otra parte, dado un complejo no nulo z y un natural n, existen exactamente n
complejos ω0 , ω1 , ..., ωn−1 tales que ωjn =z, ∀ j ∈ {0, 1, ..., n − 1} (cada complejo distinto
de cero posee n raíces n-ésimas). Además, si θ es un argumento de z (lo que significa que
z = |z| (cos θ + i sen θ) = |z|θ ) tales raíces pueden expresarse (en forma trigonométrica o
en forma polar) como sigue
ωj =
=

n

|z|(cos( θ+2jπ
) + i sen( θ+2jπ
))
n
n
n

|z|

θ+2jπ
n

, para todo j ∈ {0, 1, ..., n − 1}.

En nuestrocaso z = 8 y n = 3. Los datos que necesitamos son el módulo de z y un
argumento de z. Evidentemente |z| = 8 y, como argumento de z, podemos considerar
θ = 0 (pues z es un número real positivo). Las tres raíces cúbicas de 8 vienen dadas por:
√
3
ω0 =
8(cos 0 + i sen 0) = 2
√
√
√
3
2π
1
3
ω1 =
8(cos 2π
+
i
sen
)
=
2
−
+
i
=
−1
+
i
3
3
3
2
2
√
√
√
3
ω2 =
8(cos4π
+ i sen 4π
) = 2 − 12 − i 23 = −1 − i 3.
3
3
2. Comprobamos en primer lugar que la afirmación es cierta para n = 1 :
22·1 + 15 · 1 − 1 = 4 + 15 − 1 = 18
que, en efecto, es un múltiplo de 9.
A continuación, consideramos un natural arbitrario n y suponemos que la afirmación se
cumple para n, es decir, que 22n + 15n − 1 es un múltiplo de 9.

Finalmente, debemos probar que la afirmaciónes cierta para n+1, es decir, que el natural
22(n+1) + 15(n + 1) − 1 es un múltiplo de 9.

De acuerdo con la hipótesis de inducción 22n + 15n − 1 es un múltiplo de 9 y por tanto
existe un natural k tal que 22n + 15n − 1 = 9k. En consecuencia 22n = 9k − 15n + 1 y de
este modo
22(n+1) + 15(n + 1) − 1 =
=
=
=
=
=

4 · 22n + 15n + 14
4 (9k − 15n + 1) + 15n + 14
4 · 9k − 4 · 15n + 4 +15n + 14
4 · 9k − 3 · 15n + 18
9 · 4k − 9 · 5n + 9 · 2
9 (4k − 5n + 2)

lo que muestra que 22(n+1) + 15(n + 1) − 1 es un múltiplo de 9.
3. El primero de los límites pedidos se obtiene fácilmente haciendo uso de las equivalencias
por cociente. Teniendo en cuenta que limx→+∞ x1 = 0 podemos sustituir el factor 1 − cos x1
2
por (1/x)
. De forma similar, puesto que limx→+∞ x12 = 0,sustituiremos ln 1 + x12 por
2
1
. Así pues,
x2
lim

x→+∞

(3x2 + 1) 1 − cos x1
(x2 − 2) ln 1 +

1
x2

=

(3x2 + 1) 2x12
x→+∞ (x2 − 2) 12
x
lim

3x2 + 1
x→+∞ 2x2 − 4
3
=
.
2
=

lim

Por otra parte, de acuerdo con las reglas de L’Hôpital,
ln x
1/x
= lim
= lim (−x) = 0.
x→0 1/x
x→0 −1/x2
x→0

lim (x ln x) = lim

x→0

4. Puesto que se trata de una función continua...