algebra



























binomio de newton
Factorial de un número natural.- Es el producto de todos los números enteros positivos y consecutivos desde el número 1 hasta n inclusive; su notación es:
n! ó n ; se lee factorial del número “n”
 
Así tenemos:
6 = 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 = 720 = 6!
3 = 3! = 1 x 2 x 3 = 6
4  = 4! = 1 x 2 x 3 x 4 = 24
En general:
n! =n = 1 x 2 x 3 x....... x (n – 1) x n
Observemos que:
-3 = No existe
= No existe
 
- 3 = -1 x 2 x 3 = -6
=
 
PROPIEDADES
El factorial de un número se puede descomponer como el producto del factorial de un número menor, multiplicado por todos los consecutivos hasta el número de consideración, es decir
 
12! = 9! x 10 x 11 x 12
26! = 16! x 17 x 18............ x 25 x 26
 
Engeneral:
 
n= n – k (n – k + 1) (n – k + 2) ..... (n-1)n
donde : k  n
 































Ejemplo 1: Simplificar:  
Solución:
Descomponiendo los factoriales:

   
E = 3 Rpta.

Si el factorial del número A es igual al factorial del número B, entonces A y B son iguales, es decir:

A! = B!  A = B (A  0  B 0)
Ejemplo 2: Calcular los valores de “n”
Si:
( n! )2 - 8 n! +12 = 0
Solución:
Factorizando; tendríamos:
(n! -2 ) ( n! - 6 ) = 0
igualando cada factor a cero:
a)n! = 2 = 2  n = 2
a) n! = 6 = 3  n = 3
 C.S. = {2, 3}Rpta.
Observación: El factorial de cero es igual a la unidad, es decir:
0 ! = 0 = 1
0 ! = 0 = 1
Ejemplo 3: Si el factorial de un número “n” es igual a uno, entonces el valor de “n” puede ser cero o la unidadn= 1  n = 0  n = 1
Ejemplo: Hallar “n”, si:
 
(n – 2) ! = 1
Solución:
i)n – 2 = 0  n = 2
(n – 2)! = 1 
ii) n – 2 = 1  n = 3
 
C.S. = {2 ; 3 } Rpta.
Ejemplo 4: Calcular:

Resolución:


S= 1 + 2 + 3 +… + 99 + 100

S=5050












Simplificar las siguientes expresiones:

1. A=

2. S=


3. D=

4. M=


5. S=

6. E=


7. F=

8. G=













ANÁLISIS COMBINATORIOPermutaciones.- Permutaciones de “n” elementos tomados en grupos de “n” son los diferentes grupos que se forman en el cual participando “n” elementos en cada grupo, estos se diferencian por el orden de colocación; matemáticamente:
Pn = n ! = n
 
Ejemplo: Permutar “a”, “b” y “c”
Solución:
La permutación de “a , b” y “c” es:
Pabc = {abc; acb; bac; bca; cab; cba}
P3 = 3 ! = 6 grupos; en cada grupohay 3 elementos, que se diferencian por el orden de colocación.
Variaciones.- Variaciones de “n” elementos tomados en grupos de “k” en “k” son los diferentes grupos que se forman en el cual participando “k” elementos en cada grupo estos se diferencian al menos por un elemento o por el orden de colocación; matemáticamente:
Ejm: Variar “a”, “b” y “c” de 2 en 2.


Combinaciones.- Combinatoria de “n”elementos, tomados en grupo de “k” en “k” son los diferentes grupos que se forman, en el cual participando “k” elementos en cada grupo estos se diferencian al menos por un elemento, matemáticamente :
; k n






Ejm.: Combinar, “a”, “b” y “c” de 2 en 2
Solución



3; grupos en el cual un grupo es diferente del otro por el orden de colocación.
Propiedades:
1)
2)
3)
4)
5)6)
BINOMIO DE NEWTON
Es una fórmula que nos permite encontrar el desarrollo de un binomio elevado a cualquier exponente.
Deducción del binomio para exponente entero y positivo.
1. (a+b)1 = a+b
2. (a+b)² = a² + 2ab +b²
3. (a+b)3 = a3 +3a²b+3ab²+b3
4. (a+b)4 = a4 + 4a3b +6a²b²+4ab3+b4
De estos desarrollos observamos :
El desarrollo es un polinomio homogéneo, cuyo grado es igual alexponente del binomio.
El número de términos que tiene el desarrollo es igual al exponente del binomio más uno.
Los exponentes en el desarrollo varían consecutivamente desde el exponente del binomio hasta el expediente cero en forma descendente y ascendente con respecto a “a” y “b”.
Los coeficientes de los términos equidistantes de los extremos en el desarrollo son iguales.
En el desarrollo, cada...