Algebra

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BENEMERITA
UNIVERSIDAD AUTONOMA
DE
PUEBLA FACULTAD DE CIENCIAS QU´IMICAS

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Algebra
Homaira Athenea Ram´ırez Guti´errez, Ram´es Elias Ram´ırez Guti´errez
H. Puebla de Z. MAYO de 2008

´Indice general
1. Conjuntos y reales
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1.1. Conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2. Los reales yalgunas consecuencias
2.1. Los n´
umeros reales . . . . . . . . .
2.2. Exponentes y radicales . . . . . . .
2.3. Razones y proporciones . . . . . . .
2.4. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . .
2.5. Productos notables y factorizaci´on .
2.6. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . .
2.7. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . .
2.8. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . .
2.9. Ejercicios . . . . . . . .. . . . . .
2.10. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . .

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3. Algo sobre funciones
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3.1. Funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
3.2. Clasificaci´on de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
3.3. Operaciones con funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

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2

Cap´ıtulo 1
Conjuntos y reales
1.1.

Conjuntos

En esta secci´on hacemos un breve recuento de algunos aspectos b´asicos
de laTeor´ıa (intuitiva) de Conjuntos.
Entendemos por conjunto a algo que puede o no tener elementos pero con
la propiedad de que siempre es posible decir si un objeto dado cualquiera es
o no elemento del conjunto en cuesti´on.
A los objetos de un conjunto (si los hay), les llamaremos elementos del
conjunto.
Definici´
on 1.1.1. El conjunto vac´ıo, denotado ∅, es el conjunto que no tiene
elementos.
´NOTACION:
1. Usamos letras may´
usculas: A, B, C, etc para denotar conjuntos y letras
min´
usculas: a, b, c para denotar elementos de conjuntos.
2. Si A es un conjunto, denotamos x ∈ A, a la propisici´on x es elemeto
del conjunto A y con x ∈
/ A a su negaci´on (es decir x no es elemento
de A).
Hay dos maneras de representar conjuntos:
1. Extensi´on: Se listan (o enumeran) los elementos del conjunto, eneste
caso, suelen ponerse (los elementos) entre llaves: A = {a, e, i, o, u},
B = {1, 3, 5, 7}.
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2. Comprensi´on: Se enuncia una propiedad definitoria de los elementos
del conjunto: Si A es un conjunto y p es la propiedad que define a los
elementos del conjunto, suele escribirse A = {x : x satisface p} o bien
A = {x|x satisface p}.
Algunas veces suele trabajarse con conjuntos cuyos elementosson todos de
un mismo tipo, en otras palabras, pertenecen todos a un mismo conglomerado
de cosas al que llamaremos conjunto universal o simplemente universo.
Definici´
on 1.1.2. Sean A y B conjuntos cuyos elementos pertenecen a un
universo U . Diremos que
1. A es subconjunto de B, lo que se denota A ⊆ B, si se verifica que
todo elemento del conjunto A es elemento del conjunto B. Si A no essubconjunto de B, escribimos A ⊆ B. Note que A ⊆ B si existe un
a ∈ A tal que a ∈ B.
2. A es igual a B, si se verifica que A ⊆ B y B ⊆ A. Usamos A = B,
para denotar el hecho de que el conjunto A es igual al conjunto B y,
como es usual A = B para decir que A no es igual a B. (Observe que
si A ⊆ B o B ⊆ A).
3. A es subconjunto propio de B, lo que denotamos A ⊂ B, siempre que
A ⊆ B.
Proposici´
on 1.1.3.Sean A, B y C conjuntos cuyos elementos pertenecen
a un universo U . Las afirmaciones siguientes se verifican.
1. A ⊆ U .
2. A ⊆ A.
3. Si A ⊆ B y B ⊆ C, entonces A ⊆ C.
4. ∅ ⊆ A.
Definici´
on 1.1.4. Dados los conjuntos A y B en un universo U . Definimos:
1. La uni´on de A y B como el conjunto A ∪ B = {x : x ∈ A o x ∈ B}
2. La intersecci´on de A y B como el conjunto: A ∩ B = {x ∈ U : x ∈
A y x ∈...