algrebra lineal

1. Definir transformacional lineal, núcleo e imagen de una transformación.

Transformación lineal: Sean V, W espacios vectoriales. Una transformación lineal T de V a W es una función que le asigna a cada vector v en V un único vector Tv є W y que satisface para cada u, v є V y para cada escalar ‘’α’’:

A) T( u + v) = Tu + Tv
B) T(αv) = αTv

Nota: se escribe T: V → W pararepresentar que T transforma V a W, ¿cómo? correspondiendo que todo espacio vectorial cumpla con la formula anterior para definir si es lineal o no lineal. Es decir que la transformación lineal es una función que le asigna a cada vector una transformación si preserva la estructura lineal.

Núcleo: sea T: V → W una transformación lineal de un e.v V, en un conjunto e.v W. El núcleo de T, (NT), es elsubconjunto del e.v V que consta de todos los elementos u de V tales que: T(u)=0 ∈ W (0 perteneciente a W). Esto quiere decir que las imágenes de los vectores de V es el vector nulo del e.v. W. expresado matemáticamente el núcleo es igual a: NT= {u ∈ e.v V de salida/T(u)=0 ∈ W}, donde 0 ∈ W es el vector nulo del e.v de llegada de W. El núcleo puede tener varios vectores de V, incluido el vector nulo 0∈ V, o solo el vector nulo

Nota: tal como muestra la figura(1) de abajo, el núcleo de una transformación lineal puede ser el subconjunto de la imagen de un vector de todos los elementos ‘’u’’ como ejemplo: ‘’u’’ ∈ ‘’V’’ transformado en un vector nulo en W no obstante no tiene que ser siempre un vector nulo si no que el núcleo puede poseer varios vectores ∈ ‘’V’’. (El núcleo de T ‘‘T: V → W’’sería un sub-espacio vectorial de V), ( El núcleo puede ser denotado por Ker(f) del inglés kernel=núcleo)



fig.(1)



Imagen: sea T: V → W es una T.L (transformación lineal) de un e.v V en un e.v W, entonces el recorrido de T o imagen de V bajo T, denotada por ‘’img T’’, consta de todos aquellos vectoresen W (e.v de llegada) que son imágenes bajo T de vectores en V. es decir, v está en img T si podemos hallar algún vector u en V tal que T(U)=W.

Nota: tal como muestra la figura (2) sea F: V → W una transformación lineal(T.L) , entonces la imagen de F notada por img (F) es el subconjunto de W resumidamente la imagen de una T.L es el subconjunto resultante de V a W.
fig.(2)





2. Demostrar los teoremas sobre la dimensión del núcleo y de la dimensión de la imagen.

Teorema: El conjunto T(V) (recorrido de T) es un sub espacio de W.Además, T aplica el elemento cero de V en el elemento cero de W.

Ejemplo:

1) Calcular el núcleo y la imagen de la aplicación lineal
R³ → R²
(x,y,z) (x+y+2z, 3x+3y+6z )

Imagen: Partimos de un sistemagenerador del espacio inicial ℜ , por ejemplo la base canónica (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1). Sus imágenes son:
f→ (1,0,0) = (1,3)
f→ (0,1,0) = (1,3)
f→ (0,0,1) = (2,6)
Por tanto Img(f) está generada por (1,3), (1,3), (2,6). Eliminando los vectores que son combinación lineal de los demás, obtenemos que una base de Im(f) es {(1,3) }.
Así pues, la dimensión de Img(f) es 1.

Núcleo: Ker T= ( v ∈V/ T(u)=0
Hay que encontrar los vectores cuya imagen es (0,0), es decir, los (x,y,z) tales que (x+y+2z, 3x+3y+6z) = (0,0) por tanto

x+y+2z =0
3x+3y+6z =0 sistema compatible indeterminado cuya solución general es:

(2α, 2β, –α–β) : α, β ∈ R
Estos son todos los vectores que forman el núcleo, es decir
Ker(f) = { (2α, 2β, –α–β) :α,β ∈ R }

De esta expresión paramétrica podemos obtener una base de Ker(f): {(2,0,–1), (0,2,–1)} Por tanto la dimensión del núcleo es 2.

3. Demostrar los teoremas de transformación lineales inversibles.

Existen 3 tipos de teoremas:

Teorema: Si T: V → W es una transformación lineal inversa de T existe si y solo si T es biyectiva. Una transformación T: V → W es biyectiva si:

A)...