Alumno

PROBLEMAS RESUELTOS
ÁLGEBRA LINEAL

Tema 2. Espacios Vectoriales

SUBTEMA: ESPACIOS VECTORIALES
Problema 1: Sea V = {a} el conjunto con el único elemento “a”. Determinar si V es un
Espacio Vectorial sobre los reales con las operaciones de adición y multiplicación por un
escalar definidas por:
:a+a=a
: a=a

R

SOLUCIÓN:
1.- Cerradura para la suma:

u v x V
a+a=a V

cumple pordefinición

2.- Conmutativad de la suma:

u v v u
a + a = a +a
a = a
cumple

3.- Asociatividad de la suma:

u

v w

u v

w

a + [a + a] = [a + a] + a
a+a = a+a
a = a
cumple
4.- Existencia de vector neutro: e
*Izquierda: e u u
a+a=a
a=a

a

5.- Existencia de inverso aditivo: z
*Izquierda: z u u
a+a=a
a=a

a

*Derecha: u e u
a+a=a
cumple
a=a

*Derecha: u z ua+a=a
cumple
a=a

6.-Cerradura para la multiplicación:
u y V
αa = a V
cumple por definición
7.- Distributiva de la multiplicación para la suma de vectores:
DIVISIÓN: CIENCIAS BÁSICAS
FACULTAD DE INGENIERÍA, UNAM

1 de 5

u v

u

v

COORDINACIÓN: MATEMÁTICAS

Profra. Norma Patricia López Acosta

PROBLEMAS RESUELTOS
ÁLGEBRA LINEAL

Tema 2. Espacios Vectoriales
α (a + a)= α a + α a
αa=a+a
a=a
cumple
8.- Distributiva de la multiplicación para la suma de escalares:

u

u

u

(α + β) a = α a + β a
a = a+a
a=a
cumple
u

9.- Asociativa de la multiplicación:

u

α (β a) = (α β) a
αa = a
a=a
cumple
10.- Unicidad:

1u u
1a=a
a=a

cumple

Por tanto, “V” sí es un Espacio Vectorial sobre los reales.

Problema 2: Sea el conjunto A ={(x,y) | x,y
multiplicación por un escalar definidas por:

R} y las operaciones de adición y

u = (x1,x2); v = (y1,y2)
: u v = (x1 + y2,x2 + y1)
: u = ( x1, x2)
R y u = (x1,x2) A

A

Determinar si A tiene estructura de Espacio Vectorial.
SOLUCIÓN:
1.- Cerradura para la suma:

u v

x

A

u v = (x1 + y2,x2 + y1)
u v v u
2.- Conmutativad de la suma:
(x1,x2) + (y1,y2) = (y1,y2) +(x1,x2)
(x1 + y2,x2 + y1) (y1+x2,y2+x1)
DIVISIÓN: CIENCIAS BÁSICAS
FACULTAD DE INGENIERÍA, UNAM

2 de 5

A

cumple por definición

no cumple
COORDINACIÓN: MATEMÁTICAS

Profra. Norma Patricia López Acosta

PROBLEMAS RESUELTOS
ÁLGEBRA LINEAL

Tema 2. Espacios Vectoriales
3.- Asociatividad de la suma:

u

v w

u v

w

(x1,x2) + [(y1,y2) + (w1,w2)] = [(x1,x2) + (y1,y2)] +(w1,w2)
(x1,x2) + (y1+w2,y2+w1) = (x1 + y2,x2 + y1) +(w1,w2)
(x1+y2+w1,x2+y1+w2) (x1+y2+w2,x2+y1+w1)
no cumple
4.- Existencia de vector neutro:

e (e1 , e2 )

*Derecha: u e u
(x1,x2) + (e1, e2) = (x1, x2)
(x1+e2,x2+e1) = (x1,x2)
Igualando términos:
x1+e2 = x1
x2+e1 = x2
e2 = 0
e1 = 0
e (0,0)

*Izquierda: e u u
(0,0) + (x1,x2) = (x1,x2)
(0+ x2,0+ x1) = (x1,x2)
(x2,x1) (x1,x2)No existe vector neutro,
no se cumple el axioma

5.- Existencia de inverso aditivo: z ( z1, z2 )
Puesto que no existe vector neutro, entonces no existe inverso-aditivo,
no se cumple el axioma
6.-Cerradura para la multiplicación:
u y V
α ( x1, x2) = (αx1,x2) V

cumple por definición
u v

7.- Distributiva de la multiplicación para la suma de vectores:
α [(x1,x2) + (y1,y2)] = α(x1,x2)+ α(y1,y2)
α (x1+y2,x2+y1) = (αx1,x2) + (αy1,y2)
(αx1+αy2,x2+y1) ( αx1+y2,x2+αy1)

9.- Asociativa de la multiplicación:

u

α [β (x1,x2)] = (α β) (x1,x2)
α (β x1,x2) = (α β x1,x2)
(α β x1,x2) = (α β x1, x2)
DIVISIÓN: CIENCIAS BÁSICAS
FACULTAD DE INGENIERÍA, UNAM

3 de 5

v

no cumple

u

8.- Distributiva de la multiplicación para la suma de escalares:
(α + ) (x1,x2) =α(x1,x2) + (x1,x2)
(αx1 + x1,x2) = (αx1,x2) + ( x1,x2)
(αx1 + x1,x2) (αx1+x2,x2+ x1)

u

u

u

no cumple

u

cumple
COORDINACIÓN: MATEMÁTICAS

Profra. Norma Patricia López Acosta

PROBLEMAS RESUELTOS
ÁLGEBRA LINEAL

Tema 2. Espacios Vectoriales
10.- Unicidad:

1u u
1 (x1,x2) = (x1,x2)
(x1,x2) = (x1,x2)
cumple
Por tanto, “A” no es un Espacio Vectorial sobre los reales....