Análisis de Regresión Múltiple

Prof.: Victor Valdivia Pradenas

REGRESIÓN MÚLTIPLE

El modelo de regresión simple visto con anterioridad, suele ser inadecuado en la
práctica. Por ejemplo la cantidad demandada de un bien, no sólo depende del
precio sino que de otras variables como el precio de los bienes relacionados, los
gustos y preferencias de los consumidores, el ingreso,la población, etc.
Por consiguiente, se necesitaampliar el modelo con dos variables para considerar
el modelo con más de dos variables. La adición de variables, conduce al análisis
de los modelos de regresión múltiple, es decir modelos en las cuales la variable
dependiente (Y), depende de dos o más variables independientes. La función de
regresión poblacional es la siguiente:

Yi   0  1 X 1   2 X 2  i
Donde: Y = variable dependiente
X1 yX2 = variables independientes
µi = error

Para estimar el modelo de regresión de tres variables, se considerará el
método de los MCO ( Mínimos Cuadrados Ordinarios).
Para encontrar los estimadores de MCO se escribe primero la función de
regresión muestral de la siguiente manera:

Yi  ˆ0  ˆ1 X 1  ˆ2 X 2  ˆ i
Como se vió en el caso de la regresión simple, el método busca seleccionar losvalores desconocidos de los parámetros de manera que la suma de los
cuadrados de los errores:
Por lo tanto hay que:
n



2
i

 0

1

n

n

min   i   (Yi  ˆ0  ˆ1 X 1  ˆ2 X 2 ) 2
1

2

1

Derivando con respecto a las distintas incógnitas (parámetros o coeficientes
(β) e igualando a 0, se obtienen las siguientes ecuaciones normales:

1.
2.

Y  ˆ0  ˆ1 X 1  ˆ2 X 2
n

2
ˆ
ˆ
Y
X


X

X
 i 1i 0  1i 1  1i  ˆ2  X 1i X 2i
1

3.

Y X
i

2i

2
ˆ
ˆ
ˆ
  0  X 2i  1  X 1i X 2i   2  X 2i

De 1. se obtiene el valor de β0 y de 2 y 3 se obtiene β1 y β2 :

ˆ0  Y  ˆ1 X 1  ˆ2 X 2
ˆ1 

( yi x1i )( x2i 2 )  ( yi x2i )( x1i x2i )

ˆ2 

( yi x2i )( x1i 2 )  ( yi x1i )( x1i x2i )

( x1i 2 )( x2i 2 )  ( x1i x2i ) 2

( x1i 2 )( x2i 2 )  ( x1i x2i ) 2

Unavez obtenidos los estimadores de MCO de los coeficientes de regresión
parcial, hay que derivar las varianzas y los errores standard de los
estimadores

. Ambos se necesitan para obtener los intervalos de confianza y probar las
hipótesis estadíisticas.
 1
X 12  x2 i 2  X 2 2  x1i 2  2 X 1 X 2  x1i x2 i
ˆ
var(  0 )  


n


 x1i 2  x2i 2  ( x1i x2i ) 2
ee( ˆ )   var( ˆ )
0

0var( ˆ1 ) 

x

x x
2

1i

ee( ˆ1 )  
var( ˆ2 ) 

x

x x
2



 ˆ

 ˆ

2i

2

1i

2

 (  x1i x2 i )

2

*

2

var( ˆ2 )
2

i



n

y
i 1

2
i

 ˆ1  yi x1i  ˆ2  yi x2i

n

R2 

2

n3

2
i

 ( x1i x2 i ) 2

*

var( ˆ1 )

ee( ˆ2 )  



2

2i

1i

2

2

2i

SCE

SCT

y
i 1

2
i

 ˆ1  yi x1i  ˆ2  yi x2 i
n

y
i 1

2
i

*σ2

Coeficiente de DeterminaciónMúltiple:
En el caso de la regresión simple, R2 medía la bondad del ajuste, es decir, la
proporción o porcentaje de la variación total en la variable dependiente
explicada por la variable única explicativa X. En el modelo de tres variables se
busca conocer la proporción de la variación total en Y, explicada por las
variables X1 y X2 . En este caso, el R2 se denomina Coeficiente de
DeterminaciónMúltiple.
n

SCR
R 

SCT
2


i 1

n



2

 i

R2  1

(n  k )
n


i 1

yi2  ˆ1  yi x1i  ˆ2  yi x2 i

yi2

( n  1)

i 1

yi2

Coeficientes de Correlación Parcial.
Cuando se vió el modelo de regresión simple, el coeficiente de correlación ρ
medía el grado de asociación entre la varable dependiente (Y) y la variable
independiente (X). Para el modelo de tres variables se puedencalcular tres
coeficientes de correlación:

ry1 : Correlación entre Y y X1
ry2 : Correlación entre Y y X2
r12 : Correlación entre X1 y X2

ry1,2 : Coef. de correlación parcial entre Y y X1 manteniendo X2 constante
ry2,1 : Coef. de correlación parcial entre Y y X2 manteniendo X1 constante
r12,y : Coef. de correlación parcial entre X1 y X2 manteniendo Y constante

ry1,2 
ry 2,1
r12, y 

ry1  ry...