Análisis Matemático Iii

Análisis Matemático 3
Diplomatura de Estadística

Armando R. Villena Muñoz
Departamento de Análisis Matemático Universidad de Granada

2

Índice general

1. La medida de Lebesgue en RN 1.1. Espacios de Medida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.1. Definición y propiedades básicas . . . . . . . . . 1.1.2. Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2. Medida deLebesgue en RN . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.1. Medida exterior de Lebesgue . . . . . . . . . . . 1.2.2. Existencia y unicidad de la medida de Lebesgue . 1.3. Medidas de Lebesgue-Stieltjes en RN . . . . . . . . . . 1.3.1. Medidas de Lebesgue-Stieltjes en R . . . . . . . 1.3.2. Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.3. Medidas de Lebesgue-Stieltjes en RN . . . . . . 1.4. Apéndices .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.1. Orden, topología y aritmética en [0, ∞] . . . . . . 1.4.2. Subaditividad del volumen . . . . . . . . . . . . 1.4.3. Descomposición de un isomorfismo lineal . . . . 1.4.4. Cubos diádicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2. Integral asociada a una medida 2.1. Funcionesmedibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.1. Funciones medibles y funciones simples . . . 2.1.2. Sucesiones y series de funciones medibles . . 2.2. Integral asociada a una medida . . . . . . . . . . . . 2.2.1. Definición de integral asociada a una medida 2.2.2. Integral de funciones simples positivas . . . . 2.2.3. Integral de funciones medibles positivas . . . 2.2.4. Funciones integrables . . . .. . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . .

5 6 6 9 12 12 16 29 29 33 36 39 39 41 42 44 45 47 47 47 52 56 56 57 59 62

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

4

ÍNDICE GENERAL 2.3. Teoremas de convergencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.1. Teorema de la convergencia monótona . . . . . . . . . 2.3.2. Teorema de la convergencia dominada y lema de Fatou 2.3.3. Teorema de la convergencia absoluta . . . . . . . . . . 2.3.4.Integrales dependientes de un parámetro . . . . . . . . 2.4. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 69 75 77 81 86 93 94 94 95 101 102 103 108 108 119 128 128 131 132 133

3. La integral de Lebesgue en RN 3.1. Integrales simples . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.1. Acotación local e integrabilidad local 3.1.2. Regla deBarrow . . . . . . . . . . . 3.1.3. Cambio de variable . . . . . . . . . . 3.1.4. Integración por partes . . . . . . . . 3.1.5. Criterios de comparación . . . . . . . 3.2. Integrales múltiples . . . . . . . . . . . . . . 3.2.1. Teoremas de Fubini y Tonelli . . . . . 3.2.2. Teorema del cambio de variable . . . 3.3. Apéndices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.1. Integrales inmediatas . . . .. . . . . 3.3.2. Cambios de variable habituales . . . 3.3.3. Integrales por partes habituales . . . . 3.4. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .. . .

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

CAPÍTULO 1

La medida de Lebesgue en RN

Desde la antigüedad el hombre ha tenido que enfrentarse al problema de medir longitudes, áreas y volúmenes de figuras más o menos elementales; si bien de hecho la historia está llena de...