An Lisis_de_Regresi N_Lineal

UNIDAD DIDÁCTICA II
REGRESIÓN LINEAL SIMPLE
II.1

Especificación de un modelo regresión lineal simple.
El objetivo de la econometría es explicar una variable a un conjunto de
variables que, en principio, la Teoría Económica identifica como aquellas que
explican a la variable objeto de estudio.
El modelo lineal simple o de dos variables viene representado mediante la
siguiente expresión:
(1)
y i= β1 + β 2 x i + ε i
i = 1,2,..., n
donde el término y i es el escalar que se corresponde a la observación i-ésima
de la variable endógena del modelo también denominada variable
dependiente, o endógena. De esta forma, y = [ y1 y 2 ..... y n ]′ es el vector
columna de dimensión (nx1) que recoge todas las observaciones de la variable
endógena del modelo.
Por su parte, x i es la observación i-ésimade la variable explicativa, variable
exógena o variable independiente del modelo. Así, x = [x1 x 2 ..... x n ]′ es el
vector columna de dimensión (nx1) que recoge todas las observaciones de la
variable exógena del modelo.
Los coeficientes β 1 y β 2 son desconocidos y deberán ser estimados. Por
último, el término ε i es una perturbación estocástica agregada al modelo para
recoger todos losposibles errores de medida tanto en las variables x i e y i así
como los errores en la especificación lineal del modelo, es decir recogerá
todos aquellos factores que por error no se han incluido en el modelo y que
pueden afectar a la variable dependiente del modelo. Nótese que, en definitiva,
el término de perturbación indica en que medida las variables x e y se apartan
de la relación lineal.
De nuevo,ε = [ε 1 ε 2 ..... ε n ]′ es el vector columna de dimensión (nx1) que
recoge todas las perturbaciones estocásticas del modelo.
La expresión (1) muestra el modelo a partir de cada una de las observaciones.
Sin embargo, el modelo se puede expresar de forma alternativa, en la que,
utilizando la notación matricial, se recogen todas las observaciones del
modelo:

2

y1 = β1 + β 2 x1 + ε 1
y 2 = β1 +β 2 x 2 + ε 2
..............................
y n = β1 + β 2 x n + ε n
⎡ y1 ⎤ ⎡ 1 x1 ⎤
⎡ ε1 ⎤
⎢y ⎥ ⎢ 1 x ⎥ β
⎢ ⎥
2 ⎥ ⎡ 1 ⎤ ⎢ε 2 ⎥
⎢ 2⎥ = ⎢
+
⎢.....⎥ ⎢..... .....⎥ ⎢⎣ β 2 ⎥⎦ ⎢.....⎥
⎢ ⎥ ⎢
⎥
⎢ ⎥
⎣ y n ⎦ ⎣ 1 xn ⎦
⎣ε n ⎦
y = Xβ + ε

(2)

Hay que definir: cada una de las variables y su correspondiente unidad de
medida, asimismo indicar el signo y tamaño del parámetro.
II.2

Supuestos del modelo deregresión.
El conjunto de hipótesis sobre las que se basa el modelo de regresión versa
sobre los siguientes aspectos:
1.- Forma funcional de la relación. (asumimos que es lineal)
2.- Correcta especificación del modelo. (es decir, que x es la única variable
explicativa)
3.- La variable x es no estocástica.
4.- Identificabilidad de los parámetros. ( β 1 y β 2 se podrán estimar de forma
única)
5.-Valor esperado de la perturbación dada la información observada.
( E (ε ) = 0 (nx1) )
6.- Varianzas y covarianzas de las perturbaciones dada la información
observada. E (εε ′) = Σ ε
7.- Distribución de probabilidad de la parte estocástica del modelo.
A continuación, se enumerarán y comentarán las hipótesis básicas del modelo
lineal de dos variables:
Hipótesis 1:

El modelo es lineal tanto en lasvariables como en los
parámetros. Esto es, las variables entran en el modelo de
forma lineal ya sea en sus variables originales ya sea
después de alguna transformación previa y los parámetros
asociados a dichas variables también aparecen de forma
lineal. Esta hipótesis es fundamental debido a que si el
modelo no cumple este supuesto habrá que utilizar técnicas
no lineales que suponen un mayor gradode complicación
que los lineales.

Hipótesis 2:

El modelo está correctamente especificado. Esta hipótesis
implica que:
™ se ha incluido la variable explicativa correcta.

3

™ no se han omitido variables explicativas relevantes
para explicar a la variable endógena.
™ la relación es constante en todo el período muestral lo
que implica que los coeficientes del modelo son
constantes.
Hipótesis 3:...