An lisis Matricial

ANÁLISIS MATRICIAL

MÉTODO DE LA RIGIDEZ DIRECTA
Consiste en describir matemáticamente una estructura continua, por medio de un modelo
matemático discreto de múltiples ecuaciones simultaneas, concentrando la masa de los
elementos estructurales en los nudos.

•

Se desarrollo con base en uno de los principios del equilibrio:

La compatibilidad Fuerza-Desplazamiento
•
•
•

Las ecuaciones seescriben en función de los Grados de Libertad (GL) del sistema.
La matriz estática de rigidez tiene el orden igual a los GL del sistema (libres o
restringidos)
La relación fuerza-desplazamiento se puede representar por :

[F]=[K] {U}

[ K ] = Matriz de rigidez
[ F ] =Vector de fuerzas
{ U } = Vector de desplazamiento

Rigidez: Fuerza o momento necesario para producir un desplazamiento o rotación unitariaen la
dirección de la fuerza aplicada.

1. SISTEMA DE COORDENADAS
Se utiliza un sistema ortogonal, cartesiano y de mano derecha (Dextrógiro), se usan 2
sistemas:
1.1 Sistema de coordenadas globales
Se utiliza para referenciar toda la estructura, nudos, cargas, desplazamientos y reacciones. Se
usan 2 sistemas de coordenadas globales dependiendo del tipo de estructuras.

1

1.2 Sistema decoordenadas locales
Se utiliza para referenciar los elementos estructurales; como dimensiones, áreas, inercias,
cargas aplicadas, fuerzas internas. Se define un nudo inicial y final, se define un vector de
posición: dirección

θ

y sentido (positivo o negativo). Relación entre coordenadas locales y

globales.

Øx, Øy, Øz: Cosenos directores

Ø

Ø

Ø

2. MÉTODO DE LA RIGIDEZ
[F]=[K]{U}

{ U } = Vector dedesplazamiento

ሼܷ݊ሽ ൌ ܸ݁ܿ‫ݏ݁ݎܾ݈݅ ݏ݋݀ݑ݊ ݏ݋݈ ݊݁݋ݐ݊݁݅݉ܽݖ݈ܽ݌ݏ݁݀ ݁݀ ݎ݋ݐ‬
2

‫݊ܨ‬
‫݊݊ܭ‬
ቂ ቃൌ ቂ
‫ܽܨ‬
‫݊ܽܭ‬

‫ܷ݊ ܽ݊ܭ‬
ቃቀ ቁ
‫ܷܽ ܽܽܭ‬

ሼ‫݊ܨ‬ሽ ൌ ܸ݁ܿ‫݈ܽ݀ܽܿ݅݌ܽ ܽ݃ݎܽܿ ݁݀ ݎ݋ݐ‬

ሼ‫ܽܨ‬ሽ ൌ ܴ݁ܽܿܿ݅‫ݏ݋ݕ݋݌ܽ ݏ݋݈ ݁݀ ݏ݁݊݋‬

ሼܷܽሽ ൌ ܸ݁ܿ‫ݏ݋݀݅݃݊݅ݎݐݏ݁ݎ ݏ݋݀ݑ݊ ݏ݋݈ ݁݀ ݋ݐ݊݁݅݉ܽݖ݈ܽ݌ݏ݁݀ ݁݀ ݎ݋ݐ‬, ݃݁݊݁‫݁ݐ݈݊݁݉ܽݎ‬
݅݃‫ݏ݋ݐ݅ݎܿݏ݁ݎ݌ ݀ܽݐݎܾ݈݁݅ ݁݀ ݏ݋݀ܽݎ݃ ݋ ݋ݎ݁ܿ ܽ ݏ݈݁ܽݑ‬

Expandiendo:
[ Fn ] = [ Knn ] { Un } + [ Kna ]{ Ua }

(1)

{ Fa } = [ Kan]{ Un } + [ Kaa ]{ Ua }

(2)

De (1) despejo { Un }
[ Kun ]{ Un } = { Fn } – [ Kna ]{ Ua }
{ Un } = [ Knn ]-1 { Fn } – [ Knn ]-1[ Kna ]{ Ua }

(3)

Reemplazo en (2)
{ Fa } = [ Kan ][ Knn ]-1{ Fn } – [ Kan ][ Knn ]-1[ Kna ]{ Ua } + [ Kaa ]{ Ua }
Factorizo : { Ua }
{ Fa } = [ Kan ][ Knn ]-1{ Fn } – [[ Kan ][ Knn ]-1[ Kna ]+[ Kaa ]]{ Ua }

(4)

Para desplazamientos iguales a cero en los apoyos:
{ Un} = [ Knn ]-1{ Fn }
{ Fa } = [ Kan ][ Knn ]-1{ Fn }

-

Se supone el siguiente elemento en coordenadas locales:

3

i, j = nudos

-

Fuerzas de extremo:

-

Grados de libertad del elemento :

Ø

Ø

Existen 3 grados de libertad libres por nudo en el caso plano.

3. MÉTODO DE LA RIGIDEZ DE UNA BARRA PRISMÁTICA

I= nudo inicial

J = nudo final

4

ܷൌ

ܲ‫ܮ‬
‫ܧܣ‬

U = desplazamiento axial
A = seccióntransversal
L = longitud
E = módulo de elasticidad
ܲൌ

‫ܧܣ‬
ܷ
‫ܮ‬

ܲൌ‫ܷܭ‬
‫ܭ‬ൌ

஺ா
௅

Fuerza en el resorte
Rigidez axial, fuerza necesaria para producir un desplazamiento unitario U=1

La matriz de rigidez en coordenadas locales se arma de la siguiente manera:
Se suelta un extremo, y se le da un desplazamiento unitario Uj = 1
‫ ݆ݔܨ‬ൌ
‫ ݆݆ܭ‬ൌ

‫ܧܣ‬
ܷ‫݆ݔ‬
‫ܮ‬

‫ܧܣ‬
‫ܮ‬

Kij = Rigidez en el nudo idebido a un desplazamiento en j Uxj = 1.
Se suelta el nudo i :

5

‫ ݅ݔܨ‬ൌ െ

‫ ݅݅ܭ‬ൌ െ

‫ܧܣ‬
ܷ‫݅ݔ‬
‫ܮ‬

‫ܧܣ‬
‫ܮ‬

Rigidez en el nudo i debido a un desplazamiento en i.

‫ܧܣ‬
ሾ‫ܭ‬ሿൌ ൦ ‫ܮ‬
െ‫ܧܣ‬
‫ܮ‬

െ‫ܧܣ‬
‫ ܮ‬൪ ൌ ‫ ܧܣ‬ቂ 1
‫ܧܣ‬
‫ ܮ‬െ1
‫ܮ‬

െ1
ቃ
1

Esta matriz se aplica en armaduras o cerchas espaciales.

MATRIZ DE RIGIDEZ DE UNA CERCHA PLANA
Grados de libertad globales

Ø

Fuerzas locales

Ø

Encoordenadas locales: { FL } = [ K ]L { UL }
6

‫ܧܣ‬
‫ܮ݅ܨ‬
൜
ൠൌ ൦ ‫ܮ‬
‫ܮ݆ܨ‬
‫ܧܣ‬
െ
‫ܮ‬

‫ܮ݅ݔܨ‬
‫ܮ݅ݕܨ‬
஺ா
൞
ൢൌ ௅
‫ܮ݆ݔܨ‬
‫ܮ݆ݕܨ‬

‫ܧܣ‬
‫ ܮ‬൪ ൜ܷ݅‫ ܮ‬ൠ
‫ܮ݆ܷ ܧܣ‬
‫ܮ‬

െ

1
቎0
െ1
0

0 െ1 0 ܷ‫ܮ݅ݔ‬
0 0 0቏ ൞ܷ‫ ܮ݅ݕ‬ൢ
0 1
0 ܷ‫ܮ݆ݔ‬
0 0
0 ܷ‫ܮ݆ݕ‬

Ø

Ø

Se proyectan las leyes globales sobre los ejes locales en el nudo i y j.
UxiL = Uxi Cos Ø + Uyi Sen Ø
UyiL = - Uxi Cos Ø + Uyi Sen Ø

C = Cos Ø

UxjL = Uxj Cos Ø...