Analisi Combinatorio

ANALISIS
COMBINATORIO

Prof. Richard D. Torres Niebles

ANÁLISIS COMBINATORIO
Principio Multiplicativo
Si el suceso “A” se puede realizar de “m”
maneras.
El suceso “B” se puede realizar de “n” maneras
El suceso A y B se puede realizar en forma conjunta de:

# maneras = m.n

Ejemplo 1:
¿Cuántos números ab se pueden obtener, si “a”
es cifra par y “b” es cifra impar.

2

6

1
3
5
7
9
1
3
5
7
921; 23; 25; 27; 29

61; 63; 65; 67; 69

4

8

¡En Total! 20 números

1
3
5
7
9
1
3
5
7
9

41; 43; 45; 47; 49

81; 83; 85; 87; 89

2
• El suceso “a” se puede realizar de 4 maneras
• El suceso “b” se puede realizar de 5 maneras.
• Cada suceso a y b en forma conjunta es un número
• El cual se puede realizar de:
a b
• 4.5 = 20 maneras
2
4
6
8

1
3
5
7
9
4 . 5 = 20 números

Ejemplo 2:
• De una ciudad Aa otra B hay 4 caminos diferentes y de B a C
hay 3 caminos diferentes. ¿De cuántas maneras se podrá ir
de A a C, pasando por B?
(1)
(2)
A

En total:

(3)
(4)

(5)
B

4.3 = 12 maneras

(6)
(7)

C

Principio Aditivo
• El suceso A se puede realizar de m maneras.
• El suceso B se puede realizar de n maneras
entonces:
• El suceso A o el suceso B, en el sentido
EXCLUYENTE, se puede realizar de:
# demaneras =m + n

Ejemplo:
Lima – Huancayo se puede viajar en tren o en
ómnibus; si hay 3 rutas para el tren y 4 para el
ómnibus. ¿Cuántas maneras tenemos para viajar
Lima – Huancayo?
¡Hay 7 maneras!

Tren 1
Tren 2
Tren 3
Lima

Ómnibus 1

Huancayo

Ómnibus 2
Ómnibus 3
Ómnibus 4

Obsérvese: que cada ruta excluye a la otra

Combinación
• Se llama combinación a cada grupo que
puede formarse con varioselementos,
tomados de uno en uno; de dos en dos; de
tres en tres, etc. tal que en cada grupo.
EL ORDEN DE LOS ELEMENTOS NO INTERESA.

Esto es:
Si dos grupos tienen los mismos elementos pero
en orden diferente, se trata de la misma
combinación

Número de Combinaciones
• El número de combinaciones de “m”
elementos tomados de “n” en “n” está dado
por:

m
Cn 
m! = 1.2.3....m
0! = 1

m!
n! (m  n)!Ejemplo 1
Se dispone de 5 personas para formar un
comité de 3 personas. ¿De cuántas maneras
se puede formar el comité?
Observe que: el orden de
las tres personas no
interesa, puesto que
cualquiera que sea el
orden
de
las
tres
personas, se trataría del
mismo comité.
¡Pues bien, estamos ante
un caso de combinación!

5!
5
C3 
 10
3! 2!

10 maneras de formar el comité

Ejemplo 2
• En una caja hay5 bolas numeradas ¿De
cuántas maneras se puede extraer por lo
menos 2 bolas?

5
5
5
5
C2  C3  C 4  C5  26
Por lo menos 2
significa:
2 ó 3 ó 4 ó 5 y
observe que son
sucesos
excluyentes. Luego
tenemos:

Son 26 maneras

Propiedades
1.

2.

m
m
Cn  Cm n

m1
m1
m
Cn  Cn 1  Cn

Permutación con Variación
• Se llama variación a cada grupo que puede
formarse con varios elementos, tomados deuno en uno, de dos en dos, de tres en tres,
etc. tal que en cada grupo hay que tener en
cuenta el orden de sus elementos.
EL ORDEN DE LOS ELEMENTOS INTERESA.

Número de Permutación con
Variaciones
• El número de
variaciones de
“m” elementos
tomando “n”
en “n” está
dado por

V

m

n

m!
(m  n)!

Ejemplo
Hay 5 personas y sólo una banca con capacidad
para 3 personas. ¿De cuántas maneras
puedensentarse?

Obsérvese el
detalle siguiente
A

B

C

B

A

C

Son las mismas
personas pero 2
maneras diferentes
de sentarse; es
decir hay que tener
en cuenta el orden
de los elementos.
Luego,
estamos
ante un caso de
VARIACIÓN.

V

5 5!
  60 maneras
3

2!

Permutación
• Se
llama
permutación a cada
variación en la cual
intervienen
todos
los
elementos
disponibles.

n

P

n
!
n
Vn

Ejemplo:
• ¿Decuántas maneras pueden sentarse 5
personas en 5 asientos uno a
continuación del otro?

P5  5!  120
Son 120 maneras de sentarse

Permutaciones con Repetición
Se dispone de “m” elementos, tales que:

    ...    m
El número de permutaciones de los
“m” elementos está dado por:

Ejemplo:
¿Cuántas palabras de 7 letras se pueden formar
con las letras de las palabras MANAMAN?
A: se repite 3...