Analisis 1

Matemática II

Cátedra: Santa María

INTEGRALES
Antiderivadas
Una función F recibe el nombre de ANTIDERIVADA o
PRIMITIVA de f sobre un intervalo I si F ′( x ) = f ( x ) para
todo x perteneciente a I .
Si F ′( x ) = f ( x)

⇒

F es una Primitiva de f

El concepto de Primitiva o Antiderivada es el inverso de
Derivada.
1

TABLA DE INTEGRALES INMEDIATAS

1)

m +1
x
m
x
∫dx = m + 1 + C

1
1
− ( m −1)
dx
=
−
x
+C
m
m −1
x

3)

∫

5)

dx
∫ x = ln x + C

1

dx = 2 x + C

7)

∫

9)

∫ sen x dx = − cos x + C

x

m −1
m
m
x
dx
=
x
+C
2) ∫

4)

x
x
e
dx
=
e
+C
∫

1 kx
e dx =
e
+ C
6) ∫
k
ax
x
a dx =
+ C
8) ∫
ln a
kx

10)

∫ cos x dx = sen x + C
2

REGLAS DE INTEGRACIÓN
Integral del producto deuna constante por una función

∫k

f ( x) dx = k ∫ f ( x) dx

Ejemplos:

1) ∫ 3 cos x dx

1
2) ∫ dx
6x

3

REGLAS DE INTEGRACIÓN

Integral de la suma / resta de funciones

∫ [ f (x) ± g(x)] dx = ∫ f (x) dx ± ∫ g(x) dx
Ejemplos:

(

)

3) ∫ e − x dx
x

4) ∫ ( x3 − 2x2 + 5 x − 4x−1) dx
4

MÉTODOS DE INTEGRACIÓN
Sustitución

∫ f ( g ( x)) ⋅ g ' ( x) dx = ∫ f (u )du
Ejemplos:

5) ∫ 2 x + 1 dx
6) ∫ cos (4 x) dx

7) ∫ tg ( x) dx
5

MÉTODOS DE INTEGRACIÓN
Integración por partes
Tomemos la derivada de un producto de funciones:

D x [ f ( x ) ⋅ g ( x )] = f ' ( x ) ⋅ g ( x ) + f ( x ) ⋅ g ' ( x )
f ( x ) ⋅ g ' ( x ) = D x [ f ( x ) ⋅ g ( x )] − f ' ( x ) ⋅ g ( x )

f ( x ) ⋅ g ' ( x ) = D x [ f ( x ) ⋅ g ( x )] − f ' ( x ) ⋅ g ( x )
6Ahora integramos a ambos miembros

∫

f ( x) ⋅ g ' ( x ) dx = ∫ Dx [ f ( x) ⋅ g ( x)] dx − ∫ f ' ( x) ⋅ g ( x) dx (1)

u = f ( x) ; v = g ( x) ⇒
du = f ' ( x ) dx ; dv = g ' ( x ) dx
Reemplazando en (1)

∫ u ⋅ dv = u ⋅ v − ∫ v ⋅ du
7

MÉTODOS DE INTEGRACIÓN
Integración por partes

u
⋅
dv
=
u
⋅
v
−
v
⋅
du
∫
∫
Ejemplos:

8) ∫ x ⋅ ln x dx

9) ∫ x ⋅ sen ( x ) dx
8INTEGRAL DEFINIDA - REGLA DE BARROW
Si G es una primitiva de f , se verifica que:

∫

b
a

f ( x ) dx = G (b ) − G ( a )

9

APLICACIONES DE LAS INTEGRALES DEFINIDAS

GEOMÉTRICAS
Cálculo de áreas planas
Rectificación de curvas
Volumen de revolución
Área de una superficie de revolución

FÍSICAS
Momentos estáticos
Momentos de inercia

10

LA INTEGRAL COMO ÁREA
Hallar elárea bajo la curva de la función f ( x ) = x 2 + 1 en el
intervalo [1;5]
f(x)= x2 + 1
en el intervalo cerrado [1,5]

A=

∫

5
1

( x 2 + 1) dx

11

Ejemplos:
1) Calcular el área bajo la curva de la gráfica de la función
f ( x) = − x 2 + 2 x + 3 en el intervalo [0;3]
5
4
3
2
1

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3

A = ∫ (− x 2 + 2 x + 3) dx = 9
0

12

2) Calcularel área bajo la curva de la gráfica de la función
f ( x) = x 2 − 2 x − 3 en el intervalo [−1;2]
-1

-0.5

0.5

1

1.5

2

-1

-2
-3
-4
-5

2

A = ∫ ( x 2 − 2 x − 3) dx = −9
−1

¿Es un área?
13

3) Calcular el área bajo la curva de la gráfica de la función
f ( x ) = x 2 − 2 x en el intervalo [−2;2]
8
6
4
2

-2

-1

1

2

-2

En este caso el área tieneuna parte positiva y otra negativa
entonces, para calcular el área
planteamos:
0
2
A=

∫

−2

f ( x ) dx
x

−

∫

0

f ( x ) dx

14

ÁREAS DE REGIONES LIMITADAS POR DOS CURVAS

Calcular el área de la región encerrada entre las gráficas de las
funciones: f ( x) = x 2 y g ( x) = 3 x − 2
5
4
3
2
1

-1

-0.5

0.5

1

1.5

2

-1

2

A = ∫ [ g ( x ) − f( x)] dx
−1

15

Calcular el área de la región comprendida entre las curvas de
las gráficas de las funciones: f ( x) = x 2 y g ( x ) = x 3 − 2 x
4
3
2
1

-1

-0.5

0.5

1

1.5

2

-1

0

A = ∫ [( x − 2 x) − ( x )] dx +
−1

3

2

∫

2
0

[( x 2 ) − ( x 3 − 2 x)] dx

16

Resumiendo:

Si

Si

f (x)

f (x)

es positiva en [a; b]

⇒

es...