ANALISIS_COMBINATORIO_Angel_F
Páginas: 27 (6586 palabras)
Publicado: 1 de mayo de 2016
ANÁLISIS COMBINATORIO
Ángel F. Sánchez Oré
Prof. academia César Vallejo - ICH
Objetivos
1. Iniciar al lector en el estudio del análisis combinatorio.
2. Desarrollar la capacidad para resolver problemas de análisis combinatorio de manera razonada.
3. Aplicar adecuadamente los conceptos teóricos desarrollados.
4. Dominar la teoría necesaria para proseguir estudios de este tema a nivelsuperior.
Introducción
En muchas ocasiones estamos interesados en conocer sólo el número de elementos de un conjunto
que cumple ciertas condiciones; sin que sea necesario enumerarlos, para ello debemos hacer uso de las
técnicas de conteo. Dichas técnicas están ligadas directamente a la historia de la matemática, porque es
la forma como las personas tienen su primer contacto con esta disciplina.Podemos señalar que dos tipos de problemas
combinatorio son:
•
•
que ocurren frecuentemente en el análisis
Demostrar la existencia de subconjuntos de elementos de un conjunto finito dado y que satisfacen
ciertas condiciones.
Contar o clasificar los subconjuntos de un conjunto finito y que satisfacen ciertas condiciones
dadas.
Actualmente el análisis combinatorio dispone de técnicas generalesque permiten resolver
ciertos tipos de problemas, sin embargo la solución de un problema combinatorio exige casi siempre
ingeniosidad y una comprensión plena de la situación descrita en el problema. Ese es uno de los
encantos de esta parte de la matemática donde problemas fáciles de enunciar, se tornan a veces difíciles
exigiendo una alta dosis de creatividad para su resolución.
Conceptosprevios
Para llevar a cabo nuestro estudio, vamos a utilizar algunas herramientas tales como el factorial de
un número. Adicionalmente estudiaremos el cofactorial de un número y la relación existente entre
la función gamma y el factorial. Es importante tener clara la noción de los aspectos matemáticos
mencionados, pues su conocimiento permitirá desenvolvernos con soltura en la parte operativa de laresolución de los problemas y ejercicios.
Lea atentamente los alcances teóricos y practique mucho, con empeño, hasta conseguir un dominio que
le permita abordar con suma facilidad el presente capítulo.
Análisis combinatorio
¿Qué es el factorial de un número?
Se define el factorial de un número n (n es un
número entero y positivo), al producto indicado
de los números enteros y consecutivos desdela
unidad hasta n inclusive. Esto se denota así: n!,
n o n.
Se lee de la siguiente forma:
“Factorial de n o n factorial”.
n! = 1 × 2 × 3 × 4 × .... × (n–2) × (n–1) × n
Por ejemplo:
∀ n ∈ Z+
se lee:
Ejemplo 1
Verifique la existencia o no existencia de cada una
de las siguientes expresiones:
c.
e.
3!
2
–5!
a.
b.
2
7!
Resolución:
a la fracción
c.
3
b. !
2d. (–5)!
f.
7!
3!
3! 1 × 2 × 3
=
= 3 ∴ Si existe
2
2
2
3
!
2
En el caso a el símbolo ! afecta sólo al
numerador, es decir a 3, siendo el cálculo
pedido posible. Sin embargo no ocurre lo
3
y el factorial no está definido
2
para esta clase de número.
∴ No existe 3 !
2
–5! sí existe
d. (–5)! no existe
se expresa
4!: Factorialde 4 ⇒ 4! = 1 × 2 × 3 × 4
6!: Factorialde 6⇒ 6! = 1 × 2 × 3 × 4 × 5 × 6
7!: Factorial de 7 ⇒ 7! = 1 × 2 × 3 × 4 × 5 × 6 × 7
a.
mismo en el caso b, pues el símbolo ! afecta
e.
f.
La comparación de los casos c y d hace que
la diferencia sea evidente; en el caso d, el
factorial toma lo encerrado entre paréntesis
que es –5 para el cual no está definido el
factorial. En el caso c, el factorial sólo afecta
al número 5, mas no al signo(–), es decir, el
cálculo es posible.
En efecto: –5! = –1 × 2 × 3 × 4 × 5 = –120
7! no existe, pues 7 ∉ Z+
7! = 1 × 2 × 3 × 4 × 5 × 6 × 7 = 5040
Descomposición en factores de un factorial
Recordemos: si n! = 1 2 3 ... (n–2) (n–1) n, entonces
5! = 1 × 2 × 3 × 4 × 5 ; luego, 5! = 4! × 5
4!
7! = 1 × 2 × 3 × 4 × 5 × 6 × 7 ; luego, 7! = 6! × 7.
6!
También, 7! = 5! × 6 × 7, del cual...
Ángel F. Sánchez Oré
Prof. academia César Vallejo - ICH
Objetivos
1. Iniciar al lector en el estudio del análisis combinatorio.
2. Desarrollar la capacidad para resolver problemas de análisis combinatorio de manera razonada.
3. Aplicar adecuadamente los conceptos teóricos desarrollados.
4. Dominar la teoría necesaria para proseguir estudios de este tema a nivelsuperior.
Introducción
En muchas ocasiones estamos interesados en conocer sólo el número de elementos de un conjunto
que cumple ciertas condiciones; sin que sea necesario enumerarlos, para ello debemos hacer uso de las
técnicas de conteo. Dichas técnicas están ligadas directamente a la historia de la matemática, porque es
la forma como las personas tienen su primer contacto con esta disciplina.Podemos señalar que dos tipos de problemas
combinatorio son:
•
•
que ocurren frecuentemente en el análisis
Demostrar la existencia de subconjuntos de elementos de un conjunto finito dado y que satisfacen
ciertas condiciones.
Contar o clasificar los subconjuntos de un conjunto finito y que satisfacen ciertas condiciones
dadas.
Actualmente el análisis combinatorio dispone de técnicas generalesque permiten resolver
ciertos tipos de problemas, sin embargo la solución de un problema combinatorio exige casi siempre
ingeniosidad y una comprensión plena de la situación descrita en el problema. Ese es uno de los
encantos de esta parte de la matemática donde problemas fáciles de enunciar, se tornan a veces difíciles
exigiendo una alta dosis de creatividad para su resolución.
Conceptosprevios
Para llevar a cabo nuestro estudio, vamos a utilizar algunas herramientas tales como el factorial de
un número. Adicionalmente estudiaremos el cofactorial de un número y la relación existente entre
la función gamma y el factorial. Es importante tener clara la noción de los aspectos matemáticos
mencionados, pues su conocimiento permitirá desenvolvernos con soltura en la parte operativa de laresolución de los problemas y ejercicios.
Lea atentamente los alcances teóricos y practique mucho, con empeño, hasta conseguir un dominio que
le permita abordar con suma facilidad el presente capítulo.
Análisis combinatorio
¿Qué es el factorial de un número?
Se define el factorial de un número n (n es un
número entero y positivo), al producto indicado
de los números enteros y consecutivos desdela
unidad hasta n inclusive. Esto se denota así: n!,
n o n.
Se lee de la siguiente forma:
“Factorial de n o n factorial”.
n! = 1 × 2 × 3 × 4 × .... × (n–2) × (n–1) × n
Por ejemplo:
∀ n ∈ Z+
se lee:
Ejemplo 1
Verifique la existencia o no existencia de cada una
de las siguientes expresiones:
c.
e.
3!
2
–5!
a.
b.
2
7!
Resolución:
a la fracción
c.
3
b. !
2d. (–5)!
f.
7!
3!
3! 1 × 2 × 3
=
= 3 ∴ Si existe
2
2
2
3
!
2
En el caso a el símbolo ! afecta sólo al
numerador, es decir a 3, siendo el cálculo
pedido posible. Sin embargo no ocurre lo
3
y el factorial no está definido
2
para esta clase de número.
∴ No existe 3 !
2
–5! sí existe
d. (–5)! no existe
se expresa
4!: Factorialde 4 ⇒ 4! = 1 × 2 × 3 × 4
6!: Factorialde 6⇒ 6! = 1 × 2 × 3 × 4 × 5 × 6
7!: Factorial de 7 ⇒ 7! = 1 × 2 × 3 × 4 × 5 × 6 × 7
a.
mismo en el caso b, pues el símbolo ! afecta
e.
f.
La comparación de los casos c y d hace que
la diferencia sea evidente; en el caso d, el
factorial toma lo encerrado entre paréntesis
que es –5 para el cual no está definido el
factorial. En el caso c, el factorial sólo afecta
al número 5, mas no al signo(–), es decir, el
cálculo es posible.
En efecto: –5! = –1 × 2 × 3 × 4 × 5 = –120
7! no existe, pues 7 ∉ Z+
7! = 1 × 2 × 3 × 4 × 5 × 6 × 7 = 5040
Descomposición en factores de un factorial
Recordemos: si n! = 1 2 3 ... (n–2) (n–1) n, entonces
5! = 1 × 2 × 3 × 4 × 5 ; luego, 5! = 4! × 5
4!
7! = 1 × 2 × 3 × 4 × 5 × 6 × 7 ; luego, 7! = 6! × 7.
6!
También, 7! = 5! × 6 × 7, del cual...
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