analisis de regresion y correlacion


INTRODUCCIÓN
Aunque fueron utilizados inicialmente en astronomía y física por Laplace y Gauss, el nombre de “Modelos de regresión” proviene de los trabajos de Galton a finales del siglo XIX. Galton, estudió la dependencia de la estatura de los hijos (Y) respecto a la de sus padres (X) encontrando lo que denominó una regresión a la media: Los padres altos tienen, en general, hijos altos,pero en promedio no tan altos como sus padres; los padres bajos tienen hijos bajos, pero en promedio más altos que sus padres. Desde entonces, los modelos estadísticos que explican la dependencia de una variable Y, con respecto a una o más variables cuantitativas X se denominan modelos de regresión.
Cuando el conocimiento de una variable determina totalmente el valor de otra, tenemos el casoextremo de dependencia, entonces diremos que existe una “relación exacta o funcional” entre estas variables. En el caso opuesto, el conocimiento de una de ellas no aporta información sobre el valor de la otra, diremos entonces que “ambas variables son independientes”. Las relaciones que observamos entre variables biológicas, sociales, físicas o económicas se caracterizan por que el valor de una ó másvariables permite predecir en mayor o menor grado (probabilidad) el valor de una variable de respuesta: diremos entonces que, existe una relación estadística o estocástica entre ellas. Los modelos de regresión estudian la construcción de modelos explicativos para este tipo de relaciones.
Es importante destacar que los modelos de regresión lineal han sido desarrollados para evaluar la relaciónlineal entre variables continuas (tanto la respuesta como las variables independientes).
REGRESION
Se dice que en una muestra existe relación o regresión estadística, o simplemente regresión; de los valores de un carácter respecto a los valores de otro, si puede encontrarse una ecuación que relacione los valores de los mismos en cualquier individuo de la muestra, es decir, si los valores de uncarácter puede considerarse función de los valores del otro.








En (a) regresión lineal con correlación positiva, entre una serie de valores imaginarios, en c, regresión lineal con correlación negativa; en b, regresión no lineal. La correlación es mayor en b y c que en a.
Si llamamos y a los valores y x a los valores de los caracteres X e Y de los n individuos de la muestra.
Aesta ecuación se le denomina ecuación de regresión, ya a la línea que la representa gráficamente, línea de regresión o curva de regresión.
En general, la recta o curva de regresión de Y sobre X no es la misma de X sobre Y.
MÉTODO DE LOS MINIMOS CUADRADOS
Para mostrar cómo se ajusta a un conjunto de datos de una recta por el método de los mínimos cuadrados, considérese n pares de números ,,…,Como antes se usara la letra X para la variable de predicción, la letra y para el valor de la variable asociada observado efectivamente para valor de x y la letra de y´ para el valor calculado por la ecuación. En consecuencia se escribe la ecuación de predicción de la forma
y´=a+bx (ecuación de la recta de los mínimos cuadrados)
Y se observa que para cada uno de los n valores dados de x setiene un valor dado (u observado) de y y un valor calculado(o predicho) y´
El criterio de los mínimos cuadrados exige que se haga mínima la suma de los cuadrados de las diferencias entre los valores observados de y y los correspondientes valores predichos y´ +. Esto quiere decir que se deben hallar los valores numéricos a y b que aparecen en la ecuación y´=a+bx para los cuales

Ecuacionesnormales


En estas ecuaciones cuya solución de los valores deseados por mínimos cuadrados de a y b, n es el número de pares de observaciones, y son las sumas de las x y y dadas, es la suma de los cuadrados de las x y es la suma de los productos de cada x dada por la y de observaciones correspondiente.
Dichas ecuaciones se la conocen con el nombre de ecuaciones normales que nos sirven para...