Analisis detallado de un circuito RLC

ANÁLISIS DE UN CIRCUITO RLC SERIE EN CC

Para este análisis tomaremos los siguientes valores:
Vcc = 8 V
R=4
L=1/2H
C=1/6F
Con las condiciones iniciales: q(0) = 0 C ; i(0) = 0 A
Una vez secierra el interruptor, comienza a circular una corriente i(t) en sentido horario.
La ecuación de voltajes para el circuito es:
R i + L i´ +(1/C) q = 8
Sustituyendo los valores de los componentes:
4i + (1 / 2) i´ + 6 q = 8

;

como i = q´ entonces:

4 q´ + (1 / 2) q´´ + 6 q = 8
(1 / 2) q´´ + 4 q´ + 6 q = 8
q´´ + 8 q´ + 12 q = 16 ...................(1)
Esta es la ecuación diferencial aresolver, lo haremos por el método de los coeficientes
indeterminados:
Primero resolvemos la ecuación homogénea: q´´ + 8 q´ + 12 q = 0
Esto nos conduce a resolver la ecuación auxiliar: D2 + 8D +12 = 0
De donde:

D1 = - 6 y D2 = -2

Como estas raíces son reales y diferentes nos conducen a la siguiente solución
homogénea:
qh(t) = C1 eD1 t + C2 eD2 t
= C1 e- 6 t + C2 e- 2 t

Ahoraencontraremos la solución particular, que como el segundo miembro de la
ecuación diferencial (1) es 16, lo tomaremos como una constante A.
qp = A
q´p = 0
q´´p = 0
Sustituyendo esta yp y susderivadas en la ecuación diferencial original (1):
0 + 8 (0) + 12 A = 16
De donde A = 4/3
Entonces:

qp = 4/3

La solución total es q(t) = qh + qp
q(t) = C1 e- 6 t + C2 e- 2 t + 4/3 …….(2)
i(t) =q´(t) = –6C1 e- 6 t – 2C2 e- 2 t

.........(3)

ahora determinaremos el valor de C1 y C2, a partir de las condiciones iniciales.
Reemplazando t = 0 , q = 0 e i = 0 en (2) y (3) :
q(0) = 0 C=> 0 = C1 + C2 + 4/3

i(0) = 0 A => 0 = –6C1 – 2C2
Resolviendo el sistema formado por las dos ecuaciones anteriores, tenemos que:
C1 = 2/3 y C2 = –2
Entonces:
q(t) = (2/3) e- 6 t – 2 e- 2 t +4/3 …….(4)
i(t) = q´(t) = – 4 e- 6 t + 4 e- 2 t

.........(5)

A partir de aquí se pueden encontrar los demás parámetros del circuito como son el
voltaje en la resistencia, en la bobina y el...