Analisis Numerico

UNIVERSIDAD NACIONAL AUTONOMA DE NICARAGUA [pic]
Interpolación y aproximación de funciones
Prof.:MSc Wilfredo Calderón Carmona

TEMA: INTERPOLACIÓN POLINOMIAL SIMPLE

Ejemplo 1:
Sea la tabla que muestra la temperatura de ebullición de la acetona (C3H6O) a diferentes presiones:
|Pto |T°C |P.atm |
|0|56.5 |1 |
|1 |78.6 |2 |
|2 |113 |5 |
|3 |144.5 |10 |
|4 |181 |20 |
|5 |205 |30 |
|6 |214.5 |40 |


Supongamos que solo se dispone de la tabla.
|Pto |T°C |P.atm |
|0 |56.5 |1 |
|1 |113|5 |
|2 |181 |20 |
|3 |214.5 |40 |


Calcular la temperatura de ebullición de la acetona a una presión de 40 atm.
Solución:
→Aproximación por polinomio lineal:[pic]
Usamos dos puntos 1 y 2 en [pic]
[pic]
→ Aproximación por polinomio cuadrático:[pic]
[pic]
En general si se desea aproximar una función por un polinomio de grado n senecesitan (n+1) puntos que sustituidos en la ecuación polinomial de grado n
[pic]
Generan un sistema de (n+1) ecuaciones lineales de la incógnita ai; i = 0 … n, una vez resuelto el sistema se sustituyen los valores de ai en la ecuación [pic] con lo cual se obtiene el polinomio de aproximación, a este método se le conoce como aproximación polinomial simple.

TEMA: POLINOMIO DE INTERPOLACIÓN DELAGRANGE:
El problema consiste en encontrar un polinomio de grado n que pase por los puntos
|xi |f (xi)=yi |
|x0 |f (x0)=y0 |
|x1 |f (x1)= y1 |
|x2 |f (x2)= y2 |
|… |… |
|xn |f (xn)= yn |


[pic]
Definimos el polinomio de Lagrange como:
[pic]
Con [pic]
Comenzamos con la aproximación lineal:|xi |f (xi)=yi |
|x0 |f (x0)=y0 |
|x1 |f (x1)= y1 |


P(x)=a0+a1x
Por el método anterior se tiene la solución del sistema:
[pic]
[pic]Ejercicios desarrollar el polinomio de Lagrange de grado dos y tres.

Ejemplo 1:
Aproximar la función dada por la tabla:
|T°C |56.5 |118 |181 |214.5 |
|P. atm |1 |5|20 |40 |


Aproximarla a través de un polinomio de Lagrange para evaluar la temperatura cuando P=2atm.
[pic]=L0(x)f(x0)+L1(x)f(x1)+L2(x)f(x2)+L3(x)f(x3)

Solución:
[pic]
Ejemplo 2:
Desarrollar el polinomio de Lagrange de grado 3 que pase por los puntos (-1,1), (0,1), (1,1), (2,5) luego calcule P3(-0.5) y P0(1.5)
|Xi |F(xi) |
|-1 |1 |
|0 |1|
|1 |1 |
|2 |5 |


Solución:
[pic]
Nota: Antes de evaluar los [pic] se prueba primero que los cuatro puntos pasen por la ecuación encontrada.
[pic]

Ejemplo 3:
Hallar un polinomio de interpolación de Lagrange que aproxime a la función:
f(x) = e3x – cos(ln x) en x0=1, x1=1.5, x2=2, x3=3.5
|xi |F(xi) |
|1 |19.1 ||1.5 |89.1 |
|2 |402.7 |
|3.5 |36315.2 |


Solución:
P3(x)=15.28x3+106.96x2-233.02x+160.44+178.2x3-1158.3x2+2227.5x-1247.4-537x3+3222x2-3895.3x+2819.3+4842x3-21789x2+31473x-14526

P3(x)= 446.9x3—19618.34x2+27964.28x-12

ERROR EN EL POLINOMIO DE LAGRANGE:
Si x0,x1,.....xn son n+1 puntos distintos y “f” una función cuyosvalores están dados en estos puntos entonces existe un polinomio P único de grado a lo más n talque P(xk)= f(xk) k=0.....n entonces P(x) está dado por:
P(x)=L0(x)f(x0)+L1(x)f(x1)+……+Ln(x)f(xn)=[pic]
Donde:
[pic]
Teorema:
Si x0,x1,….xn son puntos distintos en el intervalo [a,b] y f pertenece al conjunto de funciones de n+1 derivadas .....(en+1[a,b]) para cada xє[a,b] existe un [pic]talque:...