Analisis Numerico

AIM Quiz

http://localhost:2611/aimyork/Alice

Raices
Question 1 Calcular el vector x lineal: [1,1,1,1] . Calcular en cada iteración k el valor de la estimación del error absoluto ||e (k)|| = ||x(k) − x(k−1) ||∞ y también del error relativo || x You have not attempted this yet The teacher's answer was: ⎡ ⎤ ⎢ 0.0 0.707 0.707 1 0.00123 ⎥ ⎣ ⎦
(k) T (k) 2 2 2

Top 1 Bottom Focus Help de laiteración k-ésima cuando k=4 si se utiliza el método de Newton-Raphson en la resolución del sistema no −x1+3 x2−2 x3−x2x4=0, x1−2 x2+3 x3−x3x4=0, x1 +x2 +x3 −1=0, tomando x
(0)

4 x 1−x2+x3−x1x4=0,=

−x

(k−1)

||∞ / || x

(k)

||∞. Dar los resultados con cuatro decimales exactos.

Solution: Queremos resolver un sistema de ecuaciones del tipo: f1(x1,x2,...,xn) = 0, donde lasfunciones fi(x),
n n

f2(x1,x2,...,xn) = 0 , ...

fn(x1,x2,...,xn) = 0
T

i=1,2,...,n son arbitrarias. Llamando entonces a F(x) = [f1(x),f2(x), ..., fn(x)] queremos resolver F(x) = x
(k+1)

0,con F:R → R . Si se usa el método de Newton-Raphson, esto se traduce en usar el esquema iterativo: =x
(k)

− (J(x

(k)

))

−1

F(x

(k)

),

k=0,1,2,...

siendo: ⎡ J(x(k)) = ⎣∂fi(x) ∂xj ⎤ ⎦ ,
x=x
(k)

1 ≤ i, j ≤ n,

la matriz de Jacobi.

Por tanto, al resolver el sistema por Newton-Raphson, debemos resolver en cada iteración el sistema lineal: J(x(k)) vc(k) = −F(x(k)) yobtener luego la siguiente iteración usando este vector de corrección recién calculado: x(k+1) = x(k) + vc(k) En nuestro caso la función es: ⎡ ⎢ 4 x1−x2+x3−x1x4 ⎢ −x1+3 x2−2 x3−x2x4 F(x) = ⎢ x −2 x2+3x3−x3x4 ⎢ 1 2 2 2 ⎢ x1 +x2 +x3 −1 ⎣ y la matriz de Jacobi: ⎡ 1 −x1 ⎢ 4−x4 −1 ⎢ −1 3−x4 −2 −x2 J(x) = ⎢ −2 3−x4 −x3 ⎢ 1 ⎢ 2 x1 2 x2 2 x3 0 ⎣ Como la aproximación inicial es x(0) = [1,1,1,1] T ,calculamos: ⎡ ⎢ ⎢ 0 J(x ) = ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ Y por tanto, el sistema lineal a resolver es: ⎡ 3 −1 1 −1 ⎤ ⎡ −3 ⎤ ⎢ −1 2 −2 −1 ⎥ vc(0) = ⎢ 1 ⎥ ⎤ 3 −1 1 −1 ⎥ −1 2 −2 −1 ⎥ ⎥, 1 −2 2 −1 ⎥ 2 2 2 0 ⎥ ⎦ ⎡ ⎢ ⎢ F(x0) = ⎢...