Analisis Numerico

1. Para la matriz A=243-4-6-3331 determine PAλ, los valores propios de A y ρ(A)
Solución:

PAλ=detA-λI
A-λI=243-4-6-3331-λ100010001=243-4-6-3331-λ000λ000λ=2-λ43-4-6-λ-3331-λ
detA-λI=det2-λ43-4-6-λ-3331-λ=2-λ-6-λ∙1-λ+9-4-4∙1-λ+9+3-12-3∙-6-λ
PAλ=detA-λI=-λ3-3λ2+4

* Hallamos los valores propios de A; PAλ=0

Por medio de la división sintética obtenemos los siguientes valores:PAλ=0→λ+2(λ+2)(-λ+1)
λ=1 ∧ λ=-2 ∧ λ=-2 Son los valores propios de A

* Ahora hallamos el radio espectral; ρAλ

ρλ=max-2, -2,1
ρλ=2


2. Para la matriz A= 324202423 determine A2

Solución:
Calculamos primero
ATA=324202423 .324202423= 941660812412 608404806 124128061649
ATA=29142814814281429
Hallamos
ATA- λI3= 29142814814281429-λ 100010001=29142814814281429-λ000λ000λ

ATA- λI3=29-λ1428148-λ14281429-λ
Por lo tanto
Det ATA- λI3= det 29-λ1428148-λ14281429-λ
= 29-λ8-λ29-λ-196- 141429-λ-392-28196-28(8-λ)
= 29-λ232-8λ-29λ+λ2-196- 14406-14λ-392-28196-224+28λ
Luego
Det ATA- λI3= 29-λ-37λ+ λ2+36- 14 -14λ+14- 28 28λ-28
= -1073λ+29λ2+1044+37λ2-λ3-36λ+196λ-196+784λ-784
=-λ3+66λ2-129λ+64
Por lo tanto:
PATA λ= =-λ3+66λ2-129λ+64
Hallamos ahora los valores propios de ATA
-λ3+66λ2-129λ+64=0λ3-66λ2+129λ-64=0
Usamos la división sintética y factorizamos, tenemos que:
1-66+129-64 11-65 641 -65 64 0

Por lo tanto:
λ3-66λ2+129λ-64=0 (λ-1)λ2-65λ+64= 0
= (λ-1)λ-64λ-1=0
Es decir λ=1; λ= ; λ= son valores propios de ATA por lo tanto:
PATA=max1; 64; 1; =
Con lo que A2= PATA1/2= (64)1/2=8

3. Aplique el método iterativo deJacobi para resolver el sistema:

5x1-x2+x3=10
2x1+8x2-x3=11
-x1+x2+4x3=3

Use como vector inicial x(0)=0,0,0 y consigne los resultados en la siguiente tabla:
k | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
x1(k)  | 0 | 2,00000000 | 2,12500000 | 2,01250000 | 1,98359375 | 1,99757813 |
 x2(k) | 0 | 1,37500000 | 0,96875000 | 0,95703125 | 1,00175781 | 1,00583496 |
 x3(k) | 0 | 0,75000000 | 0,90625000 | 1,03906250 |1,01386719 | 0,99545898 |
6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
2,00207520 | 2,00042041 | 1,99974277 | 1,99993185 | 2,00003113 | 2,00001055 | 1,99999634 |
1,00003784 | 0,99922318 | 0,99995856 | 1,00010172 | 1,00001029 | 0,99998691 | 0,99999801 |
0,99793579 | 1,00050934 | 1,00029931 | 0,99994605 | 0,99995753 | 1,00000521 | 1,00000591 |

Solución:

Según los resultados obtenidos en la tabla se pudeconcluir que la solución exacta seria x(0)=2, 1, 1
Luego aplicando EA=x-x(12)∞ tenemos:
EA=x-x(12)∞=2-1,99999634,1-0,99999801,1-1,00000591=0,00000366, 0,00000199, -0,00000591=0,00000591
EA=x-x(12)∞=0,00000591

4. Pruebe que si se aplica el método de Gauss-Seidel para resolver el sistema:
x1-2x2+2x3=1
-x1+x2-x3=0
-2x1-2x2+x3=-5
El método no converge para cualquier x0mostrando que la matrizde coeficientes del sistema no es estrictamente diagonal dominante y que además p TG≥1.
Solución:

A =1-22-11-1-2-21
1> 2+2=1<4
1> -1+-1=1<2
1> -2+-2=1<4

Esta matriz no es estrictamente diagonal debido a que no se cumple que:
aij> j=1j≠inaij para i=1,2,3….n
Ahora mostramos que p TG≥1
Tenemos que TG= -(AD+AI)-1AU, con:
A =1-22-11-1-2-21 ; AD= 100010001; AU=0-2200-1000 ; AI= 000-100-2-20
Por lo tanto:
-1AU=0-2200-1000
(AD+AI)=100-110-2-21
Por lo tanto AD+AI-1AU=100-110-2-21

5. Aplique el método iterativo de Gauss-Seidel para resolver el sistema:

4x1+3x2=24
3x1+4x2-x3=30
-x2+4x3=-24

Cuya solución exacta es x=3,4,-5.Use como vector inicial x(0)=1,1,1 y consigne los resultados en la siguiente tabla:

K | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9|
x1(k) | 1 | 5,2500 | 3,1406 | 3,0879 | 3,0549 | 3,0343 | 3,0215 | 3,0134 | 3,0084 | 3,0052 |
x2(k) | 1 | 3,8125 | 3,8828 | 3,9268 | 3,9542 | 3,9714 | 3,9821 | 3,9888 | 3,9930 | 3,9956 |
x3(k) | 1 | -5,0469 | -5,0293 | -5,0183 | -5,0114 | -5,0072 | -5,0045 | -5,0028 | -5,0017 | -5,0011 |
x-x(k)2 | 7,0000 | 2,2582 | 0,1853 | 0,1158 | 0,0724 | 0,0452 | 0,0282 | 0,0176 | 0,0110 | 0,0068...