Analisis Numerico

Chapter 1 DERIVACION NUMERICA
1.0.1
f (α) ≈
m

Ejercicios Propuestos
n i=0

1.- Considerando la f´rmula de aproximaci´n de derivadas (de orden m) de la forma o o Ai f (xi ). Calcular la aproximaci´n de la segunda derivada en α = 4 usando o xi 1 2 3 los siguientes datos en la tabla esta dada por f (xi ) 0 1 4 2.- Determinar la aproximaci´n de la segunda derivada de f (x) usando series deTayo lor y los puntos x + 2h y x − 2h. 3.- Usando desarrollo en series de Taylor determinar las siguientes aproximaciones de la primera derivada:

4.- Usando las aproximaciones anteriores de ejercicio 3, la de orden O(h) y la primera de orden O(h4 ), aproximar la primera derivada de cotg(x) en el punto x = 2, usando 1

2 h = 0.1, h = 0.05, h = 0.01, h = 0.005. Comparar los resultados.

5.-Usando las aproximaciones anteriores de ejercicio 3, la de orden O(h) y la primera de orden O(h4 ), aproximar la primera derivada de ex en el punto x = 1, usando h = 0.1, h = 0.01, h = 0.01, h = 0.001, h = 0.0001, h = 0.00001. Comparar los resultados. 6.- Usando desarrollo en series de Taylor determinar las siguientes aproximaciones de la segunda derivada:

donde fk = f (xk ), adem´s xk = x0 + khy k ∈ Z. a 7.- Usando desarrollo en series de Taylor determinar las siguientes aproximaciones de las terceras y cuartas derivadas:

donde fk = f (xk ), adem´s xk = x0 + kh y k ∈ Z. a 8.- Deducir una f´rmula de cinco puntos que utilice los valores de la funci´n en los puntos o o x, x + h, x + 2h, x + 3h y x − h para calcular f (x).

3 9.- Usando desarrollo de Taylor, determinar laaproximaci´n de la primera derivada de o una funci´n f (x) en el punto x0 , utilizando diferencias centradas con los puntos x0 − h/2 o y x0 + h/2. Determinar adem´s el orden de aproximaci´n. a o

4

Chapter 2 RESOLUCION NUMERICA EDO
2.0.2 Ejercicios Propuestos

1.- Dado el problema de valores iniciales u (t) = 1 + (u − t)2

u(0) = 0.5

b≤t≤a Usar el m´todo de Euler Progresivo para calcularvalores aproximados u1 , u2 , ..., uN de la e soluci´n u(t) en los puntos t1 , t2 , ..., tN , Considerando N = 10(h = 0.1), a = 0, b = 1. o (Soluci´n: La f´rmula de Euler esta dada por o o uk+1 = uk + h[1 + (uk − tk )2 ] La siguiente tabla muestra los valores con tres decimales 5

6 ti 0 ui 0.5

0.1 0.625 0.2 0.753 0.3 0.883 0.4 1.017 0.5 1.155 0.6 1.298 0.7 1.447 0.8 1.603 0.9 1.767 1 ) 2.- Usandoel m´todo de Euler Progresivo con h = 0.1 determinar la soluci´n en t = 1, e o para cada uno de los siguientes problemas: a.- u = 1 + t − u, u(0) = 0 (soluci´n u10 = 1) o b.- u = 1 + u2 − t2 , u(0) = 0 (soluci´n u10 = 1) o c.- u = −1 + 2t + (u2 )/(1 + t2 )2 , u(0) = 1 (soluci´n u10 = 1.805) o 3.- Considerar el mismo problema del ejercicio 1 usando el m´todo de Heun. (Soluci´n e o La f´rmula estadada por o p1 = f (uk , tk ) = 1 + (uk − tk )2 p2 = f (uk + hp1 , tk+1 ) uk+1 = uk + h p 1 + p2 2 1.942

La siguiente tabla muestra los valores con tres decimales

7 ti 0 ui 0.5

0.1 0.626 0.2 0.755 0.3 0.888 0.4 1.025 0.5 1.166 0.6 1.313 0.7 1.469 0.8 1.632 0.9 1.808 1 ) 4.- Usando el m´todo de Heun con h = 0.1 determinar la soluci´n en t = 1, para cada e o uno de los siguientes problemas:a.- u = 1 + t − u, u(0) = 0 (soluci´n u10 = 1) o b.- u = 1 + u2 − t2 , u(0) = 0 (soluci´n u10 = 1) o c.- u = −1 + 2t + (u2 )/(1 + t2 )2 , u(0) = 1 (soluci´n u10 = 1.983) o 5.- Considerar el mismo problema del ejercicio 1 usando el m´todo de Runge-Kuttae Cl´sico. (Soluci´n La f´rmula esta dada por a o o p1 = f (uk , tk ) = 1 + (uk − tk )2 h h h h p2 = f (uk + p1 , tk + ) = 1 + (uk + p1 − tk − )2 22 2 2 h h h h p3 = f (uk + p2 , tk + ) = 1 + (uk + p2 − tk − )2 2 2 2 2 2 p4 = f (uk + hp3 , tk+1 ) = 1 + (uk + hp3 − tk+1 ) h p1 + 2p2 + 2p3 + p4 6 1.998

uk+1 = uk +

8 La siguiente tabla muestra los valores con tres decimales ti 0 ui 0.5

0.1 0.626 0.2 0.756 0.3 0.888 0.4 1.025 0.5 1.167 0.6 1.314 0.7 1.469 0.8 1.633 0.9 1.809 1 ) 6.- Usando el m´todo de R-K-C con h = 0.1 determinar...