Analisis vect0rial aplicado a geometria analitica

Cómo obtengo la ecuación vectorial del plano partiendo de la general? -fuente PAG. WEB
Por ejemplo, como resuelvo lo siguiente:
Dado el plano π : - X - Y + Z + 2 = 0, obtener la ecuación vectorial.

Pienso que si hacemos X = 1, Y = 1 y Z = 0, se verifica la igualdad, por lo que (1,1,0) es un punto del plano, pero no sé cómo obtener los dos vectores directores de las rectas que lo generan.SOLUCION:

Para obtener la ecuación vectorial buscamos 3 puntos del plano. Uno va a ser el punto de paso. Luego, entre ese punto y los otros dos formamos los vectores directores.
Para encontrar cada punto perteneciente al plano, asignamos valores arbitrarios a dos de las incógnitas y calculamos la tercera.

PUNTO A ==> x = 1, y = 1
-1 -1 + z + 2 = 0
z = 0
Entonces, A(1, 1, 0)

PUNTOB ==> x = 0, y = 1
-0 - 1 + z + 2 = 0
z = 1 - 2
z = -1
Entonces, B(0, 1, -1)

PUNTO C ==> x = 1, y = 2
-1 - 2 + z + 2 = 0
z = 1+ 2 - 2
z = 1
Por lo tanto, C(1, 2, 1)

VECTORES DIRECTORES.

AB = (0-1, 1-1, -1-0) = (-1, 0, -1)

AC = (1-1, 2-1, 1-0) = (0, 1, 1)

La ecuación vectorial del plano es
============= ========= ========
(x,y,z) = (1, 1, 0) + t.(-1, 0, -1) + t'.(0,1, 1)
========== ========== ==========

¿Hallar la ecuación vectorial del plano?
Hallar la ecuación vectorial del plano que pasa por el punto (-1,3,-2) y su vector normal es n=(2,-4,1)

SOLUCION:
Sea

X = (x, y, z)

pasa por T(-1, 3, -2)

Normal N = (2,-4,1)

Entonces

.→....→
(OX - OT) * N = 0

=(x + 1, y - 3, z+2) * (2,-4,1) = 0 aplicas

=2(x+1) - 4(y-3)+1(z+2) = 0destruyes parentesis, ley distributiva

= 2x + 2 - 4y+12 + z + 2 = 0 reduces

= 2x - 4y + z +16 = 0 R/ Ecuacion cartesiana del plano

Fuente (s):
Schaum-Mc-Graw-Hill
¿ECUACIÓN VECTORIAL DEL PLANO?
Sé que el vector normal es N= (2,3,1) y un punto por donde pasa es (0,0,1) pues me dan la ecuación del plano

2x+3y+z=1

¿Cómo doy la ecuación vectorial?

RESPUESTA:
La ecuación vectorial delplano π que pasa por el punto P₀(x₀, y₀, z₀) y es paralelo a los vectores u = (u₁, u₂, u₃) y v = (v₁, v₂, v₃), llamados vectores directores, es

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π) (x, y, z) = (x₀, y₀, z₀) + λ·(u₁, u₂, u₃) + μ·(v₁, v₂, v₃) . . . . . . λ ∈ ℝ; μ ∈ ℝ
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CÁLCULO DEL PUNTO DE PASO. Le damos valores arbitrarios a "x" e "y", y despejamos "z". Voy a calcular el punto dadoen la pregunta. Hacemos x = 0, y = 0

2·0 + 3·0 + z = 1 ==> z = 1 ==> P₀ (0, 0, 1)

DETERMINACIÓN DE LOS VECTORES DIRECTORES. Se forman con tres puntos no alineados del plano. Uno de ellos puede ser el punto de paso.
Busquemos otros dos puntos, dándole valores arbitrarios a dos coordenadas. Elijamos valores tales que las coordenadas sean enteras.

x = 0, z = 4 ==> 2·0 + 3·y + 4 =1 ==> y = -3/3 = -1 ==> P₁ (0, -1, 4)

y = 1, z = 2 ==> 2·x + 3·1 + 2 = 1 ==> x = -4/2 = -2 ==> P₂ (-2, 1, 2)

Con los puntos P₀ (0, 0, 1), P₁ (0, -1, 4) y P₂ (-2, 1, 2) formamos los vectores directores, paralelos al plano.

u = P₀P₁ = (0-0, -1-0, 4-1) = (0, -1, 3)

v = P₀P₂ = (-2-0, 1-0, 2-1) = (-2, 1, 1)

ECUACIÓN VECTORIAL DEL PLANO. La ecuación es:————————————————————
(x, y, z) = (0, 0, 1) + λ·(0, -1, 3) + μ·(-2, 1, 1) . . . . . . λ ∈ ℝ; μ ∈ ℝ
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NOTA. Para comprobar si es correcta, hacemos el producto vectorial entre los vectores directores "u" y "v". El resultado tiene que ser un vector paralelo al vector normal o el propio vector normal.

u × v = (0, -1, 3) × (-2, 1, 1) = (-4, -6, -2)

Es paralelo al vector normal n = (2, 3, 1) pues -4/2 = -6/3 = -2/1
¿Cómohallar la ecuación vectorial paramétrica de la recta?
Hola amigos disculpen que los moleste. Estoy estudiando para rendir un examen y tengo 2 ejercicios que no los entiendo. Los enunciados son:

39)Halle la ecuación vectorial parametrica de la recta incluida en el plano z=0, que ademas pasa por el origen de coordenadas y es perpendicular a la recta
L= { y + z...