Analisis

Capítulo 5: FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES
5.1 Dominio y gráfica de funciones
En esta sección estudiaremos funciones reales de varias variables reales. Cantidades de la vida cotidiana o económica o ciertas cantidades físicas dependen de dos o más variables. El volumen de una caja, V, depende del largo, x, del ancho, y, y de z la altura de la caja. Los costos de una empresa que fabrica dos tiposde artículos dependen de q1 la cantidad de artículos de tipo I y q 2 la cantidad de artículos de tipo II que produce. La temperatura que tiene un gas depende del volumen que ocupa y de su presión. Veamos la definición formal de una función real de dos variables. Definición.- Sea D un conjunto de pares ordenados, ( x, y ) , de números reales, D  R 2 . Una función real de dos variables reales esuna regla que asigna a cada par ordenado ( x, y ) en D un único número real, denotado por f ( x, y ) . El conjunto D es llamado el dominio de la función y el conjunto de todos los valores de la función es el rango de la función. Observación: Cuando tenemos una función de dos variables se suele utilizar z para representar los valores de la función: z  f ( x, y ) . La variable z es la variabledependiente y x y y las variables independientes. Normalmente no se específica cual es el dominio de la función. Cuando éste es el caso tenemos que considerar el dominio implícito. El dominio implícito de una función de dos variables es el conjunto más amplio de ( x, y ) donde tiene sentido evaluar la fórmula, y el resultado es un número real. Muchas veces este dominio se representa gráficamente. En elcaso de dos variables la representación es una región en el plano.

Ejemplo 1.-

Sea

f ( x, y ) 

y  4 x 2  4 . a) Calcular el dominio de f.

b) Represéntelo

gráficamente. c) Calcule f (2,0) , f (

2 ,2) y f (1,1) . 2

Solución: a) La función está bien definida y es un número real cuando el radicando es mayor o igual a cero, esto es: y  4x 2  4  0

Así que el dominio esel conjunto de todas las parejas ( x, y ) tales que y  4 x 2  4 . Más formalmente escribimos: Dom f  {( x, y ) / y  4 x 2  4}
b) Este conjunto se puede representar en el plano. Es una región del plano limitada por la curva y  4 x 2  4  0 . Primero se traza la curva y  4 x 2  4  0 . Reescribiéndola como y  4  4 x 2 , la

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Capítulo 5: Funciones de varias variablesidentificamos como una parábola abriendo hacia abajo y con vértice en (0,4). Para determinar la región completamente podemos proceder de dos maneras. Primer procedimiento: Es claro que nuestra región es el conjunto de puntos (x,y) que satisface la desigualdad y  4 x 2  4 . Este conjunto lo podemos ver como la unión de todas las curvas

y  4 x 2  d con d  4 . Entre ellas están y  4 x 2  4 ; y  4 x2  5 , y  4 x 2  6 , y  4 x 2  7 y todas las intermedias y que están por encima de éstas. Haciendo el gráfico de todas estas curvas podemos visualizar el dominio de la función, vea la figura a la derecha.

Segundo procedimiento: Una vez que hemos establecido que el dominio es una de las dos regiones del plano limitada por la curva y  4 x 2  4 , podemos tomar un punto de prueba en el planoque no esté en la curva. Claramente (0,0) no está sobre la curva. Evaluamos la desigualdad y  4 x 2  4  0 en este punto, si satisface la desigualdad entonces la región que contiene el punto de prueba es el conjunto solución, esto es, es el gráfico del dominio de la función, si no satisface la desigualdad entonces el conjunto solución a la desigualdad es la otra región. Como 0  4  0 2  4  0no se satisface entonces el dominio es la región limitada por la curva y  4 x 2  4 que no contiene el (0,0), como efectivamente ya deducimos con el otro procedimiento, vea la figura como efectivamente está rayada la región que no contiene el punto (0,0). c) La evaluación de funciones se hace de manera similar al caso de funciones de una sola variable. Por ejemplo para obtener el valor f (2,0)...