analisis

´
Apuntes de Algebra Lineal
Carolina B. Becerra O.
Agosto 2010

Cap´
ıtulo 1
Vectores en Rn
Definici´n 1.1. El conjunto de n tuplas ordenadas de n´meros reales se
o
u
n
denota por R y a sus elementos se les llama vectores.




x1


.
Rn = v =  .  tal que x1 , . . . , xn ∈ R
.


xn

A x1 , . . . , xn se les llama componentes o coordenadas del vector v. Alvector
−
→
cuyas componentes son todas 0 se le llama vector nulo y se denota por 0 .
Definici´n 1.2. Vectores can´nicos:
o
o
 




ei = 




0
. 
.
.
0
1
0
.
.
.




 ← i , para i = 1, . . . , n




0

Definici´n 1.3. Dados u, v ∈ Rn la suma de u y v, denotada por u + v es el
o
vector cuyas componentes son la suma de las respectivas componentesde u
y v. Dado α ∈ R, la ponderaci´n de u por el escalar α ∈ R es el vector cuyas
o
componentes son el producto de α por las respectivas componentes de u. Es
decir: 







x1
y1
x1 + y1
αx1
. 
. 
.
 , αu =  . .
.
.
Si u =  .
, v =  . , entonces u + v = 
.
.
.
.
xn
yn
xn + yn
αxn

3

Proposici´n 1.4. Sean u, v, w ∈ Rn y α, β ∈ R. Entonces lasoperaciones
o
anteriores satisfacen:
u + v ∈ Rn .
(u + v) + w = u + (v + w).
u + v = v + u.
−
→
u + 0 = u.
−
→
u + (−u) = 0 .
αu ∈ Rn .
α(u + v) = αu + αv.
(α + β)u = αu + βu.
α(βu) = (αβ)u.
1 u = u.
Observaci´n 1.5. Si α ∈ R, u ∈ Rn y αu = 0, entonces α = 0 o u = 0.
o
Definici´n 1.6. Sean u, v ∈ Rn , el producto punto de u y v, denotado por
o
u · v, es la 
suma  los respectivosproductos entre coordenadas. Es decir
de


x1

y1

n

xn

yn

i=1

.
.
Si u =  .  , v =  . , entonces u · v = x1 y1 + . . . + xn yn =
.
.

xi y i .

Proposici´n 1.7. Sea u, v, w ∈ Rn y α ∈ R. Entonces el producto punto
o
satisface:
u · v ∈ R.
u · 0 = 0.
u · v = v · u.
u · (v + w) = u · v + u · w.
α(u · v) = (αu) · v.

u · u ≥ 0 y u · u = 0 ↔ u = 0.
Ejemplo1.8. ei · ej =

1
0

si
si

i=j
para todo i, j = 1, . . . , n.
i = j.




x1
 .  ∈ Rn ,
.
Definici´n 1.9. Norma de un vector: Dado u =
o
.
xn
n

xi 2 =

u =

√

u · u.

i=1

Definici´n 1.10. Vector unitario: vector que tiene norma 1.
o
Definici´n 1.11. Distancia entre vectores: d(u, v) = u − v .
o
Ejemplo 1.12. ei = 1 para todo i = 1 . . . n.
0
si i = jd(ei , ej ) = √
para todo i, j = 1, . . . , n.
2 si i = j.
Proposici´n 1.13. Sean α ∈ R y u, v ∈ Rn . Entonces
o
αu = |α| u .
u+v

2

= u

|u · v| ≤ u

2

+ v

2

+ 2u · v.

v .

u+v ≤ u + v .
Definici´n 1.14. Sean u, v ∈ Rn − {0}. El ´ngulo θ entre dos vectores es tal
o
a
u·v
que: cos(θ) =
.
u v
Ejemplo 1.15. θ(ei , ej ) =

0
π/2

si
si

i=j
para todo i, j =1, . . . , n.
i = j.

Definici´n 1.16. Sean u ∈ Rn y b ∈ R. El hiperplano definido por u y b es
o
H = {x ∈ Rn : x · u = b}. Si b = 0, se dice que pasa por el origen.

Definici´n 1.17. Sea {v1 , . . . , vm } ⊆ Rn . Una combinaci´n lineal de los
o
o
vectores v1 , . . . , vm es el vector
α1 v1 + . . . + αm vm ,
donde αi ∈ R, para algunos α1 , . . . , αm ∈ R.
Definici´n 1.18. Sea {v1 , . .. , vm } ⊆ Rn . Una combinaci´n lineal convexa
o
o
de los vectores v1 , . . . , vm es α1 v1 + . . . + αm vm , tal que αi son reales no
m

negativos y

αi = 1.
i=1

Definici´n 1.19. Sea S ⊆ Rn . El conjunto generado por S, denotado por
o
< S > es el conjunto de todas las combinaciones lineales de vectores de S.
Ejemplo 1.20. < e1 , . . . en >= Rn .
Ejemplo 1.21. Recta en R2 .
Ejemplo1.22. Recta en R3 .
Ejemplo 1.23. Recta en Rn .
Ejemplo 1.24. Plano en R3 .
Ejemplo 1.25. En R4 sea H = {x ∈ R4 : x1 +x2 −2x3 −x4 = 0 tal que x1 , x2 , x3 , x4 ∈
R}.



x∈H↔x=

x1
x2

 para x1 , x2 , x3 ∈ R.
x3
x1 + x2 − 2x3







1

 0 
x ∈ H ↔ x = x1  0  + x2 
1



 

1
 0  
Por lo tanto H =<  0  , 
1







0
0
1 
...