Analisis

ANÁLISIS – MATEMÁTICAS II – ejercicios resueltos
EJERCICIO 1. La función f : R → R dada por  x 2 + bx + c  f ( x ) =  Ln( x + 1)  x  es derivable en el punto x = 0. ¿Cuánto valen b y c? (Nota: Ln(x) es el logaritmo neperiano de x) Solución: Por ser derivable en x = 0 también tiene que ser continua en dicho punto. Entonces: Para que sea continua en x = 0 :
x →0

si x ≤ 0 si x > 0

lím−f ( x ) = lím+ f ( x ) ⇒
x →0
x →0

x →0

lím− ( x 2 + bx + c ) = lím+
x →0

Ln ( x + 1) ⇒ x

Por una parte: lím− ( x 2 + bx + c ) = c

1 Ln ( x + 1)  0  =   = (aplicando L’Hôpital) = lím+ x + 1 = 1 Por otra: lím+ x →0 x →0 x 1 0 
En consecuencia:
x →0

lím− f ( x ) = lím+ f ( x ) ⇒
x →0

x →0

lím− ( x 2 + bx + c ) = lím+
x →0

Ln ( x + 1) ⇒ c =1 x

Para que seaderivable en x = 0 : lim− f ' ( x ) = lim+ f ' (0 + )
x →0 x →0

Calculamos la derivada de la función:  x 2 + bx + 1  f ( x ) =  Ln( x + 1)  x  Entonces: Por una parte: lím− ( 2 x + b ) = b
x →0

si x ≤ 0 si x > 0 ⇒

2 x + b   f ' ( x ) =  x − Ln( x + 1)  x +1  x2 

si x ≤ 0 si x > 0

x − Ln ( x + 1) x − ( x + 1) ⋅ Ln ( x + 1)  0  x +1 Por otra: lím+ = lím+ = = 2 x →0 x→0 x x 2 ( x + 1) 0 
Aplicando L’Hôpital 1   1 − 1 ⋅ Ln( x + 1) + ( x + 1) ⋅ x + 1   = lím 1 − Ln( x + 1) − 1 = lím − Ln( x + 1) =  0  = lím+   2 x →0 x →0 + x →0 + 3x + 2x 3x2 + 2x 3x2 + 2x 0 

Nuevamente aplicando L'Hôpital: 1 − − Ln( x + 1) 1 = lím+ x + 1 = − lím+ 2 x →0 x →0 6 x + 2 2 3x + 2x Por tanto, lim− f ' ( x ) = lim+ f ' (0 + ) ⇒ b = −
x →0 x →0

1 2

EJERCICIO 2.Considera la función f : R → R definida por

f ( x) =

x . 1 + x2

Dibuja su gráfica determinando previamente los siguientes elementos: sus asíntotas, extremos locales, intervalos de crecimiento y de decrecimiento y la existencia de simetrías. Solución a) Asíntotas de la función: Verticales: lim f ( x ) = ±∞ ⇒ lim
x →a x →a

x = ±∞ ⇒ 1 + x 2 = 0 ⇒ x 2 = −1 ⇒ no existen. 2 1+ xHorizontales: 1 x x = lim 2 = lim = 0 ⇒ 2 x → ±∞ x → ±∞ 1 + x x → ±∞ x x → ±∞ x horizontal, la recta de ecuación y = 0. lim f ( x ) = y 0 ⇒ lim Al existir asíntotas horizontales, no hay asíntotas oblicuas. b) Simetrías: tenemos una asíntota

−x x =− = − f ( x ) ⇒ es una función impar, luego es simétrica 2 1 + (− x ) 1 + x2 respecto del origen. f (− x ) =
c) Intervalos de crecimiento y de decrecimiento.Extremos locales Estudiamos el signo de la derivada primera de la función: f ( x) = x 1 + x2 ⇒ f '( x) = 1 ⋅ (1 + x 2 ) − x ⋅ 2 x 1− x2 = (1 + x 2 ) 2 (1 + x 2 ) 2

Puesto que el denominador siempre es positivo, los posibles cambios de signo están en los ceros del numerador: 1 − x2 = 0 ⇒ Entonces: Si x < −1 ⇒ Si x > 1 ⇒
f ' ( x ) < 0 ⇒ f es estrictamente decreciente. f ' ( x ) > 0 ⇒ f esestrictamente creciente. f ' ( x ) < 0 ⇒ f es estrictamente decreciente.

x2 = 1 ⇒

x = ±1

Si − 1 < x < 1 ⇒

Como en el punto x = −1 la función pasa de ser estrictamente decreciente a ser estrictamente creciente, en dicho punto tendremos un mínimo. En el punto x = 1 ocurre al contrario y tendremos un máximo local. Con todo ello, la gráfica de la función sería:

EJERCICIO 3. (1) Define elconcepto de derivada de una función en un punto. (2) Estudia la derivabilidad de la función f : R → R definida por f ( x ) = x ⋅ e x . (3) Siendo f la función dada en el apartado anterior, calcula

∫ f ( x)dx.
1 0

Solución: (1) Ver teoría. (2) Teniendo en cuenta la definición de la función valor absoluto, podemos desdoblar la función f de la siguiente forma:

− x ⋅ e x f ( x) =  x  x ⋅eContinuidad de f

si x < 0 si x ≥ 0

Tanto para valores menores como mayores que cero es una función continua por estar definida como producto de funciones continuas. Estudiamos la continuidad en cero:
lim− f ( x ) = lim− ( − x ⋅ e x ) = 0  x →0 x →0 lim lim  ⇒ x →0− f ( x ) = x →0+ f ( x ) = 0 ⇒ ∃ lim f ( x ) = 0 x x →0 lim+ f ( x ) = lim− ( x ⋅ e ) = 0  x →0 x →0  ∃ f ( 0) = 0...