Analisis

El análisis dimensional aplicado al flujo de un fluido viscoso sobre una placa plana
POR

A. ARENAS y A. HERRANZ
Escuela Uaiversitaria Politécnica de Cartagena

RESUMEN Se estudia el movimiento de un fluido viscoso sobre una placa plana indefinida, calculando las componentes de la velocidad en la capa límite laminar, el espesor de dicha capa y la tensión tangencial en la placa, mediante lateoría del Análisis Dimensional de Palacios, observando que las soluciones obtenidas son más precisas que las del Análisis Dimensional clásico. SUMMARY Motion of a viscous fluid past an infinitely píate is studied. The components of the fluid velocity in the laminar boundary layer, the thickness of this boundary layer and the friction stress at the píate, are obtained using Palacios DimensionalAnalysis theory, showing that the Solutions are more precise than those of Classical Dimensional Analysis. INTRODUCCIÓN La imposibilidad de resolver de forma exacta las ecuaciones de NavierStokes en los movimientos de los fluidos, hace de gran interés la aplicación del Análisis Dimensional a este tipo de problemas, siendo sus soluciones guías para los estudios experimentales que se realizan.

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Leónidas I. Sedov (1) dedica, desde el punto de vista dimensional, gran parte de su obra Simüarity and Dimensional Methods in Méchames a estos problemas. Entre ellos figura el de el flujo de un fluido viscoso sobre una placa plana, que, pese a ser de planteamiento sencillo, no ha podido ser resuelto analíticamente de un modo exacto. Consideremos el flujo de un fluidoviscoso e incompresible sobre una placa plana. Supongamos que la placa comienza en el punto x = O y que se prolonga indefinidamente en el sentido positivo del eje X y a lo largo del eje Z. La velocidad de la corriente general, a suficiente distancia de la placa, U, es paralela al eje X y constante. Pretendemos calcular las componentes de la velocidad del fluido u(x,y), v(x,y), según los ejes X e Yrespectivamente, admitiendo que la capa límite es laminar. Utilizando la teoría de la capa límite, y mediante el Análisis Dimensional clásico, Sedov llega a:

. = „,(^,^^)
/ VX

[1] / VU , y

v= V
X

faí —
\ X / V X

U donde v es la viscosidad cinemática. Efectivamente, basta establecer las variables que intervienen: U, p (densidad), x, y, \x (viscosidad dinámica), u, v; y aplicar elteorema de «pi» para obtenerlas. Posteriormente mediante el estudio de las ecuaciones diferenciales de Prandtl para la capa límite: au
U

V

3u
1- V
= V

a^'u

ax ^ au ax

ay ay aV

3/

obtenidas de las de Navier-Stokes mediante ciertas aproximaciones, obtiene:

El análisis dimensional aplicado al flujo de un fluido viscoso

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u = U fi (/
V X

17"
[2]

vx

irCon el estudio analítico de las ecuaciones de Prandtl, por métodos de aproximaciones, obtiene para la tensión tangencial TO en la placa: / PP-U^ To = K V — [3]

y el cálculo numérico asigna a K el valor 0,332, lo que constituye la fórmula de Blasius. Para el espesor de la capa límite laminar, da Prandtl (2) la expresión teórica:
/

V-1Í

5= k V pU

[4]

Nosotros vamos a demostrar que esposible obtener directamente, con el Análisis Dimensional de Palacios (3), soluciones más precisas que las del Análisis Dimensional clásico, que coinciden exactamente con la [2], con la expresión [3] de.la tensión tangencial en la placa, y con el espesor de la capa límite laminar [4], sin que para ello sea necesario utilizar las ecuaciones de Prandtl con las aproximaciones que precisa realizarSedov. Veremos también una aplicación sobre el desarrollo de la capa límite en un tubo. COMPONENTES DE LA VELOCIDAD DEL FLUIDO EN LA CAPA LIMITE Tomamos el eje Y perpendicular a la placa, y discriminamos las dimensiones del espacio respecto de la base: Lx, Ly, Lz, M, T; las fórmulas dimensionales de las variables expuestas resultan:

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[u] = [U] = L T-; [v] = L T '...