Anexos ejercicios resueltos practica 2

ANEXO
Sea z una variable su incertidumbre se representa como 𝛿𝑧, y si queremos representarla como una medición
sería (𝑧 ± 𝛿𝑧)𝑐𝑜𝑛 𝑠𝑢 𝑟𝑒𝑠𝑝𝑒𝑐𝑡𝑖𝑣𝑎 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑.
Si la variable o función en cuestión depende de 2 o más variables, su incertidumbre dependerá de la estructura
o comportamiento de la función como se explica en la tabla # 1:
Función(f)
𝑓 = 𝑎 + 𝑏
𝑓 = 𝑎 − 𝑏
𝑓 = 𝑎2
𝑓 = 𝑘 𝑎2

Incertidumbre de lafunción (δf)
𝛿𝑓 = 𝛿𝑎 + 𝛿𝑏
𝛿𝑓 = 𝛿𝑎 + 𝛿𝑏
𝛿𝑓 = 2 𝑎 𝛿𝑎
𝛿𝑓 = 2 𝑘 𝑎 𝛿𝑎
Tabla # 1

Ejemplos
Se define a 𝐦𝐭 = 𝐦𝟏 + 𝐦𝟐 + 𝐦𝟑 , si 𝐦𝟏 = (𝟑. 𝟓𝟓 ± 𝟎. 𝟎𝟓) 𝐊𝐠, 𝐦𝟐 = (𝟏𝟐. 𝟑𝟐 ± 𝟎. 𝟎𝟐) 𝐊𝐠 y
𝐦𝟑 = (𝟐𝟔. 𝟒 ± 𝟎. 𝟐) 𝐊𝐠
Calcule (𝐦𝐭 ± 𝛅𝐦𝐭)𝐊𝐠
Entonces el procedimiento para este caso sería:
𝑚𝑡 = 𝑚1 + 𝑚2 + 𝑚3
𝑚𝑡 = 3.55 + 12.32 + 26.4 = 42.27 (Recuerde el proceso de suma con cifras significativas y decimales)
𝑚𝑡 = 42.3 𝐾𝑔

(Elresultado debe tener 1 decimal por lo que usamos reglas de redondeo)

Ahora la incertidumbre:
𝛿𝑚𝑡 = 𝛿𝑚1 + 𝛿𝑚2 + 𝛿𝑚3
𝛿𝑚𝑡 = 0.05 + 0.02 + 0.2 = 0.27 (Recuerde el proceso de suma con cifras significativas y decimales)
𝛿𝑚𝑡 = 0.3

(El resultado debe tener 1 decimal por lo que usamos reglas de redondeo)

Por lo tanto la representación de la medición sería:
𝑚𝑡 ± 𝛿𝑚𝑡 = (42.3 ± 0.3) 𝐾𝑔
Se define la siguientefunción 𝑨 = (𝝅 𝑫𝟐 )/𝟒, si 𝑫 = (𝟏𝟐. 𝟓 ± 𝟎. 𝟑) 𝒄𝒎 calcule el área (𝑨 ± 𝜹𝑨)𝒄𝒎𝟐
Primero encontremos el valor medido de A
𝐴=

𝜋 2
𝐷
4

𝐴=

𝜋
𝜋
(12.5)2 = (12.5)(12.5)
4
4

𝐴 = 122.718463 (Recuerde las reglas en la multiplicación y el redondeo de cifras significativas)
𝐴 = 123 cm

(El resultado debe tener 3 cifras significativas por lo que usamos reglas de redondeo)

Para la incertidumbre
δA =

π
(2 DδD)
4

δA =

π
4

(2)(12.5)(0.3)

δA = 5.890486226

(Recuerde las reglas en la multiplicación y el redondeo de cifras significativas)

δA = 6 cm

(El resultado debe tener 3 cifras significativas por lo que usamos reglas de redondeo)

Por lo tanto la representación de la medición seria:
(A±δA) = (123±6) cm2

Ahora qué sucede si nuestra función no se encuentra especificada en la tabla #1, como porejemplo que la
función dependa de 2 o más variables, entonces en estos casos se puede aplicar la propagación de errores
usando derivadas parciales.
La derivada parcial de una función es derivar la función respecto a una variable que tenga incertidumbre,
manteniendo las otras variables como constantes, y repetir este proceso tantas veces como tantas variables con
incertidumbre haya.
Pero ¿Cómo se derivaen primer lugar?
Propiedades de la derivada
Este tema es bastante amplio sin embargo solo se abarcara las propiedades necesarias para este curso. Sea K
una constante, f(x) y g(x) funciones que dependen de x y 𝜕 el símbolo para representar la derivada entonces:
La derivada de una constante respecto a una variable es cero
𝜕𝐾
=0
𝜕𝑥
La derivada de una función f(x) multiplicada por una constante K, esdecir K f(x) se puede escribir de la
siguiente manera:
𝜕𝐾𝑓(𝑥) 𝐾 𝜕𝑓(𝑥)
=
𝜕𝑋
𝜕𝑥
Si se suman o se restan 2 o más funciones que dependen de la misma variable y se desea obtener la
derivada de dicha expresión por ejemplo z(x)= f(x) ± g(x), la derivada de z(x) seria:
𝜕𝑧
𝜕(𝑓(𝑥) ± g(x))
𝜕(𝑓(𝑥)) ∂(g(x))
=
=
±
𝜕𝑥
𝜕𝑥
𝜕𝑥
∂x
Si tengo una variable elevada a un exponente distinto de la unidad, para ese caso enparticular se utiliza
lo siguiente:
𝜕 𝑥 𝑛−1
(𝑛 − 1)𝜕𝑥 𝑛
=
𝜕𝑥
𝜕𝑥

Ejemplos
Calcule la derivada de:
a) f(x) = 𝑥 3
𝜕𝑓(𝑥) 𝜕𝑥 3
=
= 3𝑥 2
𝜕𝑥
𝜕𝑥
b) f(x)= 5𝑥 4
𝜕𝑓(𝑥) 𝜕5𝑥 4
=
= 5(4)𝑥 3 = 20𝑥 3
𝜕𝑥
𝜕𝑥
c) Si f(x)= 3𝑥 5 y g(x)= 4𝑥 6 halle la derivada f(x) + g(x)
𝜕(𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥))
𝜕𝑓(𝑥) 𝜕𝑔(𝑥) 3 𝜕𝑥 5 4 𝜕𝑥 6
=
+
=
+
= 3(5)𝑥 4 + 4(6)𝑥 5 = 15𝑥 4 + 24𝑥 5
𝜕𝑥
𝜕𝑥
𝜕𝑥
𝜕𝑥
𝜕𝑥

Hasta el momento se ha explicado a breves rasgosel desarrollo de la derivada de una función, sin embargo lo
que se necesita para hallar la propagación de errores es el uso de derivadas parciales y sumar el valor absoluto
de estas derivadas.
Sea c= a*b, entonces para hallar la incertidumbre de c, seria:
𝝏𝒄 = |

𝝏𝒄
𝝏𝒄
|+ | |
𝝏𝒂
𝝏𝒃

Por ejemplo (𝒂 ± 𝜹𝒂) = (𝟏. 𝟑𝟏𝟕 ± 𝟎. 𝟎𝟎𝟏) 𝒄𝒎 y (𝒃 ± 𝜹𝒃) = (𝟐. 𝟕 ± 𝟎. 𝟏) 𝒄𝒎
Calcule (𝑐 ± 𝛿𝑐)𝑐𝑚2
Para el valor de...