Angulos

Definición de ángulo central, inscrito y semiinscrito

Definición:
* Se llama Ángulo inscrito en una circunferencia a cualquier ángulo que tenga su vértice en la circunferencia y que, cada una de las semirectas que constituyen sus lados sea secante a la circunferencia. 
(RB.1a)
* Se llama Ángulo semiinscrito en una circunferencia a cualquier ángulo que tenga su vértice en lacircunferencia, una de las semirectas que determina sus lados sea tangente a la circunferencia y la otra seasecante. 
(RB.1b)
* Se llama Ángulo central en una circunferencia a cualquier ángulo que tenga su vértice en el centro de la circunferencia y que se forme con 2 semirectas con origen en él. 
(RB.1c)
El ángulo central es proporcional al arco que abarca

En toda circunferencia, el tamaño de unarco es proporcional al tamaño del ángulo central que lo abarca.
Como casos particulares, El arco de media circunferencia mide la mitad de la circunferencia entera ó, el arco de un cuarto de circunferencia mide la cuarta parte de la circunferencia entera.
Dada una circunferencia L, si llamamos Lα a la longitud de un arco que es abarcado por un ángulo cental α, entonces, hay una constante t demodo que:
Lα = t · α. 
El valor de la constante dependerá de la unidad en la que estemos midiendo los ángulos.
(RB.2)
Ángulos inscritos y ángulos centrales

En una circunferencia siempre se cumple la siguiente relación entre los ángulos inscritos y los centrales:
"Un ángulo central β que abarca el mismo arco que un ángulo inscrito α, es el doble de α. Es decir: β = 2·α.
(RB.3)
Lademostración, que se basa simplemente en el principio de que los ángulos de un triángulo suman dos rectos, la podemos trabajar y comprender en el Applet adjunto.
Corolarios del resultado anterior

Sin más que pensar un poco, el resultado anterior nos permite concluir algunas cuestiones curiosas que puedes comprobar en el Applet adjunto:
1. Cualquier ángulo inscrito que abarque media circunferencia esun ángulo recto, ya que su ángulo central correspondiente es llano (180º).
2. Si trazamos un cuerda en una circunferencia, llamamos B y C a sus puntos de corte con la circunferencia y A es un punto cualquiera de la circunferencia, mientras el punto A se mueva en el mismo lado de la cuerda, el ángulo determinado por BAC, siempre valdrá lo mismo, ya que el ángulo central correspondiente novaría.
3. Si trazamos un cuerda en una circunferencia que no sea un diámetro y llamamos B yC a sus puntos de corte con la circunferencia; tomando un punto cualquiera de la circunferenica a un lado de la cuerda A y otro punto al otro lado de la cuerdaA', el ángulo determinado por BAC y el determinado por BA'C son suplementarios ya que sus ángulos centrales correspondientes hacen un ángulo completo(360º).
(RB.4)

Polígonos regulares. Ángulos

Definimos un polígono regular de n-lados a aquél que se obtiene llevando una distancia fija n-veces a lo largo de una circunferencia, terminando el el mimo punto que empezamos.
Así definido un poligono regular de n-lados se puede dividir en n triángulos isósceles todos con un vértice común Oel centro de la circunferencia y cada uno de ellos con unlado común con cada uno de los triángulos a su derecha e izquierda respectivamente.
* Cada ángulo central será el resultado de dividir 360º entre el número de lados del polígono.
* Cada ángulo interior es un ángulo inscrito que abarca lo mismo que el ángulo central correspondiente a n-2 lados
Ángulos semiinscritos y ángulos centrales

En una circunferencia siempre se cumple la siguienterelación entre los ángulos semiinscritos y los centrales:
"Un ángulo central β que abarca el mismo arco que un ángulo semiinscrito α, es el doble de α. Es decir: β = 2·α.
(RB.5)
La demostración, que se basa simplemente en el principio de que los ángulos de un triángulo suman dos rectos, la podemos trabajar y comprender en el Applet adjunto.
Arco capaz

Consideremos un segmento con...