ANOVA

An´lisis de la varianza.
a
• T´cnica de dependencia.
e
• Objetivo: detectar el efecto de ciertas variables explicativas de tipo cualitativo (FACTORES) sobre una o varias variables dependientes cuantitativas (RESPUESTA).

Ejemplo tipo:
Para analizar el posible efecto del tipo de fertilizante (A,B,C) sobre cierto cultivo se hicieron
pruebas sobre 72 parcelas y se recogi´ informaci´n sobrela cosecha (rendimientos en Kg).
o
o
Parcela

Tipo de fertilizante

1

A

2
.
.
.
.
.
.

A

72

B
C
.
.
.

Se quiere saber si el rendimiento medio es el mismo en las parcelas fertilizadas con A,B,C.
Factor: Fertilizante.
Respuesta: Kg de cosecha.
Podemos pensar que las parcelas no son id´nticas y decidimos controlar el distinto grado
e
de humedad en cada parcela,considerando 4 niveles de humedad.

1

En este caso la variable respuesta sigue siendo el rendimiento (Kg de cosecha) y los factores:
el fertilizante (A,B,C) y el nivel de humedad (1,2,3,4).
A

B

C

Humedad 1
Humedad 2
Humedad 3
Humedad 4
La hip´tesis que contrastamos en el an´lisis de la varianza es una hip´tesis de
o
a
o
igualdad de medias; pero el procedimiento se basa enla descomposici´n de la vario
anza.

2

An´lisis de la varianza con 1 factor.
a
Modelo matem´tico.
a
Tenemos una v.a. X observada en los distintos niveles de una variable cualitativa o factor.
La distribuci´n de X es:
o
• en la modalidad 1 con n1 observaciones X1 ∼ N (µ1 , σ 2 )
• en la modalidad 2 con n2 observaciones X2 ∼ N (µ2 , σ 2 )
.
• .
.

.
.
.

.
.
.

.
.
..
.
.

• en la modalidad k con nk observaciones Xk ∼ N (µk , σ 2 )
Datos:
1

2

i

k

X11

X12

X1i

X1k

X21
.
.
.
.
.
.

X22
.
.
.
.
.
.

X2i

X2k

Xji
.
.
.

Xjk
.
.
.

Xn1 1

Xn2 2

Xni i

Xnj k

¯
X.1

¯
X.2

¯
X.i

¯
X.k

Tratamos de contrastar la hip´tesis:
o
Ho: µ1 = µ2 = · · · = µk

n=

¯
X.i =

k
i=1 nini
j=1

Xji

ni

3

ni
j=1

¯
X=

k
i=1

Xji

n

¯
¯
¯
¯
Xji − X = (Xji − X.i ) + (X.i − X)

k
i=1

ni
j=1 (Xji

¯
− X)2 =

k
i=1

ni
j=1 (Xji

¯
− X.i )2 +

k
i=1

ni
¯
j=1 (X.i

¯
− X)2

SST = SSW + SSB
SCT = SCD + SCE
Suma Cuadrados Total= Suma Cuadrados Dentro de Grupos+Suma Cuadrados Entre Grupos.

Cuanto mayor sea

SCT
σ2

=SCD
σ2

+

SCE
SCD

m´s tendencia habr´ a rechazar la igualdad de medias.
a
a

SCE
σ2

χ2 = χ2 + χ2
n−1
n−k
k−1

SCE/k−1
SCD/n−k

=

χ2 /k−1
k−1
χ2 /n−k
n−k

∼ Fk−1,n−k

Cuanto menor sea el cociente, m´s veros´
a
ımil es la hip´tesis de igualdad de medias.
o

4

Tabla de ANOVA.

Variaci´n
o

g.l.

Suma cuadrados

Cuadrados Medios

F

Entregrupos

k-1

SCE

SCE/k − 1

SCE/k−1
SCD/n−k

Dentro grupos

n-k

SCD

SCD/n − k

Total

n-1

SCT

Una vez que hemos rechazado la igualdad de medias, nos preguntamos si todas las medias
son distintas entre si o si es posible aceptar hip´tesis parciales.
o

Contrastes tipo Scheff´.
e
Ho: L =

k
i=1 Ci µi

= 0 con

k
i=1 Ci

=0

Ello nos permite contrastarhip´tesis del tipo:
o

Ho: µi = µj
Ho: µi =

µj +µk
2

Para ello construimos
ˆ
¯
¯
¯
L = C1 X.1 + C2 X.2 + · · · + Ck X.k
2
¯
Como cada X.i ∼ N (µi , σ i )
n

ˆ
E(L) = C1 µ1 + C2 µ2 + · · · + Ck µk
2 σ2
2 σ2
2 σ2
ˆ
V ar(L) = C1 n1 + C2 n2 + · · · + Ck nk

5

Como σ 2 es desconocido se aproxima por

SCD
n−k

Se puede comprobar que el I.C. para L es:

ˆ
L+
−

(k− 1)Fk−1,n−k

SCD
n−k

2
Ci
k
i=1 ( ni )

Si 0 ∈I.C. Aceptamos la Hip´tesis nula: L = 0,
o
Si 0 ∈I.C. Rechazamos la Hip´tesis nula:
/
o

Ci µi = 0

Ci µi = 0

6

An´lisis de la varianza con 2 factores.
a
• Una observaci´n por casilla.
o
Factor A→ k niveles.
Factor B→ k’ niveles.
n´mero de observaciones n = kk
u

A

2

···

i

···

k

1

X11

X12...