Apendice Matematicas

APENDICES.
A. ALGEBRA.
Reglas para sumar, restar, multiplicar y dividir fracciones, donde a, b, c y d son cuatro
números:

a c ad ± bc
± =
b d
bd
⎛ a ⎞⎛ c ⎞ ac
⎜ ⎟⎜ ⎟ =
⎝ b ⎠⎝ d ⎠ bd
a b ad
=
c d bc
Para multiplicar y dividir potencias, se aplican las siguientes reglas, donde n y m son
números y x alguna variable:

xn xm = xn+m
xn
= xn−m
m
x
Una potencia fraccionariacorresponde a una raíz:

x1 n = n x
Cualquier cantidad xn que es elevada a una potencia m, es:

(x )

n m

= x nm

Algunas fórmulas útiles para factorizar una ecuación son:
Cuadrado de un binomio:

(a + b )2 = a 2 + 2ab + b 2

Diferencia de cuadrados:

a 2 − b 2 = (a + b )(a − b )

La forma general de una ecuación cuadrática es:

461

ax 2 + bx + c = 0
donde x es la cantidaddesconocida y a, b y c son factores numéricos conocidos como
coeficientes de la ecuación; tiene dos soluciones dadas por:

x=

− b ± b 2 − 4ac
2a

2

Si b ≥ 4ac , las soluciones serán reales.
Logaritmos. Si la variable x se expresa como potencia de una cantidad a, de la forma

x = ay
el número a se llama base. El logaritmo de x con respecto a la base a es igual al exponente
al cual sedebe elevar la base, que se escribe como:

y = log a x
En la práctica, las dos bases mas usadas son la base 10, llamada logaritmo común, y la base
e = 2.718..., llamada logaritmo natural. Para el logaritmo común y natural se utiliza
respectivamente las notaciones:

y = log x ⇔ x = 10 y
y = ln x ⇔ x = e y
Algunas propiedades de los logaritmos son las siguientes:
log(xy) = log x + log ylog(x/y) = log x - log y
log(xn) = n log x
log 1 = ln 1 = 0
ln e = 1
ln ea = a

462

B. GEOMETRÍA
La distancia d entre dos puntos cuyas coordenadas son ( x1 , y1 ) y ( x 2 , y 2 ) es:

d = ( x 2 − x1 ) 2 + ( y 2 − y1 ) 2
Para calcular el ángulo en radianes, se sabe que la longitud del arco s (Fig. B.1) es
proporcional al radio r, para el valor de θ medido en radianes.

s = rθ ⇒ θ =s
r
Figura B.1

La ecuación de una línea recta (Fig. B.2) está dada por y = mx + b , donde b es la
intersección con y y m la pendiente de la recta.
2

2

La ecuación de un círculo de radio R centrado en el origen es: x + y = R

2

x2 y2
La ecuación de una elipse con el origen como su centro (Fig. B3) es: 2 + 2 = 1 , donde
a
b
a es la longitud del semieje mayor y b es lalongitud del semieje menor.

Figura B.2

Figura B.3

463

2

La ecuación de la parábola cuyo vértice está en y = b (Fig. B.4) es: y = ax + b .
La ecuación de una hipérbola rectangular (Fig. B.5) es: xy = cte

Figura B.4

Figura B.5

Areas y volúmenes.
Forma
Rectángulo lados a y b
Circunferencia de radio r
Triángulo base b, altura h
Caja rectangular lados a, b, c

Area

a×bπr 2
1
bh
2
2(ab + bc + ca)

Volumen

a×b×c

2(πr 2 + πrh)

Esfera radio r

464

πr 2 h

4πr 2

Cilindro largo h, radio r

4 3
πr
3

C. TRIGONOMETRÍA.
La parte de las matemáticas que se basa en las propiedades especiales de los triángulos
rectángulos se llama trigonometría. Por definición, un triángulo recto es el que contiene un
ángulo de 90°. Considérese el triángulorecto de la figura C.1, donde el lado a es opuesto al
ángulo θ, el lado b es adjunto al ángulo θ y el lado c es la hipotenusa del triángulo. Las tres
funciones trigonométricas básicas definidas para tales triángulos son las funciones seno
(sen), coseno (cos) y tangente (tan). En términos del ángulo θ, estas funciones se definen
por:

senθ ≡

lado opuesto a θ a
=
hipotenusa
c

cosθ ≡lado adyacente a θ b
=
hipotenusa
c

tanθ ≡

lado opuesto a θ
a
=
lado adyacente a θ b

Figura C.1

El teorema de Pitágoras da la siguiente relación entre los lados de un triángulo rectángulo:

c2 = a2 + b2
De las definiciones anteriores y el teorema de Pitágoras, se sigue que:

sen 2θ + cos 2 θ = 1

tan θ =

senθ
cos θ

Las funciones cotangente, secante y cosecante...