aplicacion de derivadas

INTRODUCCION A LÍMITES

Es cómo subir una colina y darse cuenta que el camino “ha desaparecido mágicamente”…..
miras uno de los lados, ¿Quién sabe que es lo que esta pasando”

pero, si solo

ASI ES QUE……mira para los dos lados, para estar seguro de donde debes de estar.

Probemos por el otro lado:

LIMITES EN EL INFINITO

DEFINICION DE LÍMITE

LIMITE DE UNA FUNCIÓNEVALUACION DE LÍMITES
2

El límite de (x -1)/(x-1) cuando x tiende (o se aproxima) a 1 es 2
Vemos que cuando x se acerca a 1, (x2-1)/(x-1) se acerca a 2
Ahora tenemos una situación interesante:




Cuando x=1 no sabemos la respuesta (es indeterminada)



Y con símbolos se escribe así:

Pero vemos que va a ser 2

FUNCIONES RACIONALES:

(CUANDO X TIENDE A INFINITO Ó A MENOSINFINITO).

Una función racional es el cociente de dos polinomios, o sea
donde

cómo por ejemplo:

y

El primer paso para calcular el límite es comparar el Grado de P(x) con el Grado de Q(x).
Sí el grado de P es menor que el grado de Q: EL LÍMITE ES

“CERO”.

Sí el Grado de P y Q son iguales, EL LÍMITE ES: LA DIVISION DE LOS COHEFICIENTES DE LOS TERMINOS
DE MAYOR GRADO.
Sí el Grado deP es mayor que el grado de Q ,

EL LÍMITE ES: INFINITO POSITIVO O INFINITO NEGATIVO
TENEMOS QUE MIRAR LOS SIGNOS.

Recuerde que el grado de la función, lo determina el valor más grande de los exponentes de la variable.
Por ejemplo:

Calcular los límites de las siguientes funciones, cuando X

∞:

a).Resultado Límite = 0

porque el grado de la función es 0

Resultado:

Límite = =-∞ porque el grado de la función es >0

d).-

El signo del límite, resulta de la división de los signos de los términos de máximo exponente.

LIMITES INDETERMINADOS
En muchas ocasiones se presenta el cálculo de límites de cocientes, diferencias y productos de
funciones en los que al reemplazar la variable por el valor al cual tiende se generan
indeterminaciones del tipo:

El resultadode estos límites no puede anticiparse y el mismo puede ser:
0,

, un número finito diferente de cero, o bien puede no existir.

Para resolverlos, se realizan procedimientos algebraicos adecuados que permitan salvar la
indeterminación.
Contra lo que se pudiera pensar, un límite de la forma
resultado cero, tampoco un límite de la forma

no da, en general, cómo

da siempre como resultado1. Por ésta razón se

les llama límites indeterminados y se requiere hacer un estudio particular para cada caso.

Ejemplos diversos de límites:

PARA ÉSTE EJEMPLO, QUE ES UNA MULTIPLICACION,
El primer factor tiene por límite cero, ya que el grado del numerador es menor que el del denominador.
El segundo factor tiene por límite
El límite es por lo tanto de la forma

, pues el grado delnumerador es mayor que el del denominador.
, o sea indeterminado.

3.- (a) Significa que los valores de f(x) pueden hacerse tan grandes como se quiera, tomando x lo
suficiente cerca de -3, (pero distinto de -3).
(b) Significa que los valores de f(x) se pueden hacer arbitrariamente grandes como se quiera,
tomando a x lo suficientemente cerca de 4 (pero distinto de 4).

(a)

=3
-3

(b)= 2

(c) = -2

(d) = No existe

(e) = 1

(f) = -1 (g) = -1 (h) = -1

(i) =

(a) = 2

(b) = -1

(c) = 1

(d) = 1

(e) = 2

(f) = No existe

(f).- Las ecuaciones de las asíntotas verticales son: x = - 9,

x = -4,

x = 3,

x=7

ASINTOTAS
Las asíntotas son rectas a las cuales la función se va acercando indefinidamente, sin llegar nunca a
cortarlas, es decir: amedida que la variable independiente de la función tiende hacia un cierto
valor, la variable dependiente tiende a infinito. también se puede decir que la curva o función es
la que se aproxima continuamente, o que ambas presentan un comportamiento asintótico.
Se distinguen tres tipos de asíntotas:

Asíntotas Verticales: Son rectas perpendiculares al eje de las abscisas, de ecuación:

X=Cte....