Aplicacion de las integrales

Ejemplo nº 1
-Calcular la integral de la superficie de una piscina cuya agua está contaminada.
APLICACIÓN DE LAS INTEGRALES

Pedd
Ejemplo nº 2

La base de un solido es circulo de radio a. Si todas las secciones planas del solido son perpendiculares a un diámetro fijo de la bases son cuadradas, hallar el volumen del solido
Solución
El paralelepípedo rectangular elemental
de lafigura tiene volumen dV=(2y) 2 dx,
donde x1+y2=a2. Luego :
v=-aadV=4 -aa(a2+x2)dx
=16a32
Ejemplo nº 3

Una esfera de radio a tiene un hueco cilíndrico de base circular de diámetro a. si el eje del cilindro es un diámetro de la esfera. Hallar el volumen de la esfera hueca.
Solución
El tubo cilíndrico obtenido al rotar alrededor del eje Y el rectángulo de la figura,tiene volumen dV=(2πx)(2y)dx. Por lo tanto
V=a2adV=4π a2axa2+x2 dx

=-43π(a2-x2)32 a2a=32πa3

Ejemplo nº 4
Hallar el volumen de un segmento de esfera de radio a y altura h.
Solución
El volumen de un disco circular
elemental es dV=π(PQ)2 dy,
donde PQ2=a2- OP2= a2-y2. Luego

va-haπ( a2-y2) dy = π3h2(3a-h)Ejemplo nº 6
Ejemplo nº 5
Calcular el volumen de dos cilindros de revolución del mismo radio R. cuyos ejes se ponen bajo un ángulo ∝

Ejemplo nº 7

Ejemplo nº8

Ejemplo nº9

Ejemplo nº10
Encontrar la altura alcanzada por un cuerpo lanzado verticalmente hacia arriba si su velocidad es dad por la formula:
V=tg(-gct+arctgv0c)
Siendo:
V0=velocidad inicial g= gravedad
T=tiempoc=cte

Ejemplo nº11

¿Qué trabajo debe hacerse para estirar un resorte desde 3cm hasta 5cm si con una fuerza de 1 kgf se estira en 1cm?se sabe, por la ley de Hook, que la fuerza F requerida para estirar un resort es proporcional a la longitud x de este.

Ejemplo nº12
Encontrar el trabajo requerido para bombear el agua que llena un recipiente hemisférico de radio R , porencima del reciepiente.

Ejemplo nº 13
¿Qué trabajo debe hacerse para subir un cuerpo de masa m desde la superficie de la tierra (radio R) a una altura h?¿cual seria el trabajo requerido para llevar el cuerpo al infinito?(esto es, cuando h→+∞)

Ejemplo nº14
Encontrar el trabajo que debe hacerse para extraer el agua contenida en un recipiente cónico recto invertido, de radio r en la base yaltura h.

Ejemplo nº15
Encontrar la fuerza de la atracción de una barra delgada homogénea de longitud L Y masa M sobre un punto P de masa m situado en la recta de la barra y a una distancia d de uno de sus extremos.

Ejemplo nº 16
Calcular la presión del agua sobre un cono circular vertical con un radio R y altura H, sumergido en agua con su vértice hacia debajo de tal manera que subases se encuentra en la superficie del liquido.

Ejemplo nº 17
Un recipiente lleno de agua tiene la forma de un cono invertido recto circular de radio R en la base y la altura H. Encontrar el tiempo que se requiere para vaciar el recipiente a través de un orificio de área A en el vértice.

Solución
Se sabe que la velocidad de salida del agua es igual ala velocidad de un cuerpo en caída libredesde una altura x igual ala profundidad del agua. Así la velocidad de salida es v= 2gx donde g es la aceleración de la gravedad , y el volumen del agua que sale por el orificio durante un incremento de tiempo dt es:
Q=A vdt =A2gx dt…………..(1)

Este volumen puede ser calculado de otra manera. En efecto, si en el mismo intervalo de tiempo dt el nivel del agua ah descendido en una altura dx, elvolumen perdido es igual a:
Q=volumen de un cilindro circular de radio r y espesor dx
=πr2 dx

Donde por semejanza de triángulos
R=R2X2dx
luego
Q=πR2H2 X2 dx…………..(2)
Usando (1) y(2) resulta

Dt=πR2X2AH22gX
E integrando respexto de la variable x desde 0 hasta H se obtiene

T=0Hdt=2πR25AH2g

Ejemplo nº 18
Una cisterna hemisférica de radio R esta llena de agua. Dos hombres...