APLICACIONES DE LA ECUACION DE BERNULLI

€

V.- DINÁMICA DE FLUIDOS Y LUBRICACIÓN
pfernandezdiez.es

V.1.- ECUACIONES DE EULER
Vamos a considerar un fluido perfecto en movimiento, y un pequeño paralelepípedo de flujo, fijo, de
lados infinitamente pequeños, y de volumen, dx dy dz. Como el fluido es perfecto, las presiones que se

ejercen sobre las caras de este paralelepípedo, son normales a las mismas; la resultante F de las fuer  zas exteriores que actúan sobre este volumen tiene de componentes, X, Y, Z , por unidad de masa, por
lo que las fuerzas que actúan sobre el volumen en la dirección de los ejes de coordenadas, serán iguales a
€
estas componentes multiplicadas por la masa del paralelepípedo; así tendremos que:
€

∑
∑
∑

du
dt
dv
Fy = m jy = m
dt
dw
Fz = m j z = m
dt
Fx = m jx = m

son las fuerzas que hay queintroducir en las ecuaciones del movimiento, según el principio de D' Alambert, y que son el producto de la masa del paralelepípedo por las aceleraciones según los ejes respectivos.
Las ecuaciones del movimiento del volumen de fluido elegido, en las proyecciones sobre los ejes de coordenadas, son:
∂p
dx ) dy dz + X ρ dx dy dz = ρ dx dy dz du
∂x
dt
∂p
dv
p dx dz - ( p +
dy ) dx dz + Y ρ dx dy dz = ρ dx dydz
∂y
dt
∂p
p dx dy - ( p +
dz ) dx dy + Z ρ dx dy dz = ρ dx dy dz dw
∂z
dt
p dy dz - ( p +

Resolviendo la primera de estas tres ecuaciones se encuentra:
-

∂p
+ X ρ = du
∂x
dt

⇒

1 ∂p = X - du
ρ ∂x
dt

y haciendo lo propio con las otras dos, se llega al siguiente conjunto de ecuaciones de Euler:
pfernandezdiez.es

Dinámica de fluidos y Lubricación.V.-75

1 ∂p = X - du
ρ ∂x
dt

;

1 ∂p = Y -dv
ρ ∂y
dt

;

1 ∂p = Z - dw
ρ ∂z
dt

A su vez, como: u = f ( x, y, z, t ) y ser: x = x(t), y = y(t), z = z(t), su derivada respecto de t es:
du = ∂u dx + ∂u dy + ∂u dz + ∂u = ∂u u + ∂u v + ∂u w + ∂u
dt
∂x dt
∂y dt
∂z dt
∂t
∂x
∂y
∂z
∂t
∂p
=X-(
∂x
∂p
=Y-(
∂y
∂p
=Z -(
∂z

⎧ 1
⎪ ρ
⎪
que sustituida en las ecuaciones de Euler, proporciona: ⎨ 1
ρ
⎪
1
⎪ ρ
⎩

∂u u + ∂u v + ∂u w + ∂u )
∂x
∂y
∂z
∂t
∂vu + ∂v v + ∂v w + ∂v )
∂x
∂y
∂z
∂t
∂w u + ∂w v + ∂w w + ∂w )
∂x
∂y
∂z
∂t

que permiten completar el numero de ecuaciones necesario para la resolución del problema, a que hay
que calcular para un tiempo t, cuales son las componentes de la nueva velocidad (u, v, w) dadas las componentes iniciales (u0, v0, w0), la presión p y la densidad ρ.
⎧a) Ecuación de continuidad
⎪
Por lo tanto, lasecuaciones necesarias son: ⎨b) Ecuación de compresibilidad: f (p, v, T) = 0
⎪
⎩c) Tres relaciones de Euler: ∑ m j
V.2.- ECUACIÓN FUNDAMENTAL
€
Partimos de las ecuaciones de Euler, a las que respectivamente, multiplicamos por dx, dy, dz, quedando en la forma:
1 ∂p dx = X dx - du dx = X dx - du u dt = X dx - u du
ρ ∂x
dt
dt
∂p
1
dy = Y dy - dv dy = Y dy - dv v dt = Y dy - v dv
ρ ∂y
dt
dt
∂p
dw
dw
1
dz = Zdz dz = Z dz w dt = Z dz - w dz
ρ ∂z
dt
dt

⎫
⎪
⎪
⎬
⎪
⎪
⎭

Sumándolas miembro a miembro, y teniendo en cuenta que: p = f (x, y, z, t), resulta:
1 ( ∂p dx + ∂p dy + ∂p dz) =
ρ ∂x
∂y
∂z

∂p
∂p
∂p
∂p
dx +
dy +
dz +
dt
∂p
∂x
∂y
∂z
∂t
= 1 ( dp dt ) =
∂p
∂p
∂p
∂p
ρ
∂t
dx +
dy +
dz = dp dt
∂x
∂y
∂z
∂t

dp =

= X dx + Y dy + Z dz - ( u du + v dv + w dw )
A su vez:
V 2 = u2 + v 2 + w 2

⇒

2
V dV =u du + v dv + w dw = d( V )
2

1 ( dp - ∂p dt ) = X dx + Y dy + Z dz - d( V 2 )
ρ
∂t
2
Fig V.1

que es la Ecuación Fundamental de la Hidráulica, combinación lineal de las

tres ecuaciones de Euler.
pfernandezdiez.es

Dinámica de fluidos y Lubricación.V.-76

Por lo tanto, en su integración se tendrá en cuenta el camino a seguir, es decir, la ecuación fundamental de la Hidráulica solamente sepuede integrar a lo largo de una trayectoria, Fig V.1.
Otra forma de obtener esta ecuación sería a partir de:
1 ∂p = X - du ; X - 1 ∂p = du = u ∂u + v ∂u + w ∂u + ∂u
ρ ∂x
dt
ρ ∂x
dt
∂x
∂y
∂z
∂t
∂v , w ∂w
Sumándola y restándola: v
, se obtiene:
∂x
∂x
∂p
X- 1
= u ∂u + v ∂u + w ∂u + ∂u + v ∂v + w ∂w - v ∂v - w ∂w =
ρ ∂x
∂x
∂x
∂x
∂t
∂x
∂x
∂x
∂x
= u

€

 
∂u
∂u
∂u
∂u
∂v
∂u
∂w
∂u
1 ∂(V 2 )
∂u
+ v
+ w
+...