Aplicaciones de la integral

APLICACIONES DE LA INTEGRAL



Cálculo del área de la superficie que determinan dos curvas al cortarse



Si en un intervalo (a, b) dos funciones f(x) y g(x) cumplen que f(x) ³ g(x),entonces







representa el área de la superficie que encierran las dos curvas.



En la figura, se ha llamado A, B, C y D a las áreas delas cuatro regiones que dos curvas f(x) y g(x) determinan con el eje de abscisas. Teniendo en cuenta que C es el área de una zona situada por debajo del eje X:









Paracalcular el área encerrada por dos curvas se han de seguir, primeramente, estos pasos:



· Se trazan las curvas.



· Se señalan los puntos en los que se cortan las curvas.



· Sedetermina la zona de la que hay que calcular el área.



· Dependiendo de los resultados que se obtengan en los tres puntos anteriores, se procede a calcular las áreas de distintas zonas, entre loslímites de integración apropiados.Así, por ejemplo, en la figura anterior la zona encerrada entre las dos curvas es B + C.

Para calcular su área se procede así:Para obtener el área de la zona B + C hay que restar las áreas de A y D y sumar el área de C.







(En C se pone el signo - delante porque alestar g(x) entre c y d por debajo del eje X su integral sería negativa.) Por tanto:









Ejercicios:

 Hallar el área de la superficie que determinan las curvas f(x) = 4x -x2 y g(x) = x.



Resolución:

1. Trazado de las curvas:











2. Puntos de corte de las dos curvas:







3. La zona de la que hay que calcular elárea es la zona coloreada. Si se llama A al área de la parábola entre x = 0 y x = 3 B al área del triángulo que determinan la recta

y = x, el eje de abscisas y la recta x = 3 y S el área que se...