Aplicaciones De La Integral

MOISES VILLENA MUÑOZ

Cap. 3 Aplicaciones de la Integral

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3.1. 3.2. 3.3. 3.4. 3.5. ÁREAS DE REGIONES PLANAS VOLÚMENES DE SÓLIDOS DE REVOLUCIÓN LONGITUD DE UNA CURVA PLANA VALOR MEDIO DE UNA FUNCIÓN INTEGRALES IMPROPIAS.

Objetivo:  Calcular áreas de regiones planas generales, volúmenes de sólidos de revolución, longitud de una curva plana.  Evaluar integrales de funciones no acotadas79

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3.1 AREAS DE REGIONES PLANAS
3.1.1 ÁREA BAJO UNA CURVA Ya se mencionó que para calcular el valor del área bajo una curva, se particiona la región y luego se hace una suma infinita de las áreas de las particiones, lo cual equivale a una integral definida. Ahora podemos hacerlo de una manera abreviada. Considerando sólo unapartición representativa, un rectángulo diferencial que represente a cualquier partición de la región plana

Fig. 3.1

El área del elemento diferencial será:

dA  hdx  f ( x)dx

Por tanto, el área de la región plana está dada por: A  Ejemplo 1
Hallar el área bajo la curva SOLUCIÓN:

 f (x)dx
a

b

y  x 2 en 1,3
y

Primero, hacemos un dibujo de la región:

y  x2

Fig. 3.21

3

x

El área bajo la curva estará dada por:

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A


1

3

 x3   33 13  27 1 26 x dx            3 1  3 3  3 3 3
2

3

Ejemplo 2
y  x  Calcular el área de la región limitada por  y   x  6 y  0 
SOLUCIÓN: Primero se dibuja en el mismo plano y 

x y y  x  6

Luego,identificamos la región plana, sombreándola y hallamos las intercepciones de las curvas.

 x
Fig. 3.3

x  x  6   x  6 2

2

x  x 2  12 x  36 x 2  13 x  36  0 x  9x  4  0 x9  x4

El área está dado por:

A

 
x dx 
0 4 4 3

4

6

 x  6dx
6

3  2 x  2

 x2     6x   2  0  4

2   42  3    6   2 4  2  0     66     64  3  2   2       

16  18  36  8  24 3 22 A 3 

Para regiones generales, la metodología sería debe ser algo análoga a la anterior.

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3.1.2 ÁREA ENTRE CURVAS Si la región plana tuviera la siguiente forma:

Fig. 3.4

La idea sería básicamente la misma, hacer particiones de la región (se obtienentambién rectángulos) y sumar las áreas de las particiones. Siendo breve, el área del elemento diferencial será:

dA  hdx   f ( x)  g ( x) dx
Entonces el área de la región plana está dada por: A 


a

b

 f ( x)  g ( x) dx

CONCLUSIÓN: Para hallar el área de una región plana, siga los siguientes pasos: 1. Dibuje las curvas dadas. 2. Identifique la región plana. Aquí se definenlos límites de integración. 3. Defina el rectángulo diferencial, el elemento representativo. 4. Defina la integral o las integrales para él área. 5. Evalúe la integral definida.

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Ejemplo 1
y  x  4  Calcular el valor del área de la región limitada por  y  x2  2 
SOLUCIÓN: PASO 1: Graficamos en un mismo plano y  x 4 y y  x 2  2 PASO 2: Identificamos la región plana, sombreándola y hallando las intercepciones de las curvas. PASO 3: Definimos el elemento diferencial.

8 7

y

y  x4
x  4  x2  2 x2  x  6  0 x  3( x  2)  0 x  3  x  2

Fig. 3.5

6 5 4 3 2 1 -4 -3 -2 -1 -1 -2 -3 1

y  x2  2
2 3 4

x

PASO 4: La integral definida para el área sería:

A

 
2

3

x 4  x 2  2 dx





PASO 5: Evaluando la integral definida, tenemos:

A

 
2

3

x  4   x 2  2 dx 






2

3

 x 2  x  6 dx
3



 x3 x2      6x   3  2   2   33 3 2    2 3  22     6(3)       6 2  3    2 3 2     9 8  9   18   2  12 2 3 5 A 6

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