Aplicaciones De Las Integrales Definidas
Páginas: 10 (2471 palabras)
Publicado: 15 de enero de 2013
Matemáticas I.
Aplicaciones de la integral.
(Tema 5)
Jacob David García Luque.
1º Grado Ingeniería Mecánica.
Índice.
1.1. APLICACIÓN DE LA INTEGRAL DEFINIDA AL CÁLCULO DE ÁREAS.
1.2. VOLUMEN DE UN CUERPO DE REVOLUCIÓN.
1.3. ÁREA DE UNA SUPERFICIE DE REVOLUCIÓN.
1.4. MÉTODO DE SECCIONES CONOCIDAS.
1.5. LONGITUD DE CURVAS PLANAS.Hasta ahora hemos aprendido a calcular integrales, sin plantearnos la utilidad que éstas pueden tener. Sin embargo, la integral definida es un método rápido para calcular áreas, volúmenes, longitudes, etc.
En física, su empleo es constante, al estudiar el movimiento, el trabajo, la electricidad…
Procedamos con lasexplicaciones de las aplicaciones que tiene el cálculo integral.
1.1. APLICACIÓN DE LA INTEGRAL DEFINIDA AL CÁLCULO DE ÁREAS.
El problema que se nos plantea en este momento es calcular el área del recinto limitado por la gráfica de una función y determinadas rectas. Antes de aplicar la integral definida conviene, siempre que sea posible, representar el recintocorrespondiente y después, por sumas o restas de integrales, hallaremos el área pedida.
Podemos considerar las siguientes situaciones:
I. Sea f una función continua en tal que en todo punto del intervalo. Las rectas con la gráfica de la función determinan un recinto cuya área queremos calcular. Este recinto es un trapecio mixtilíneo cuya área nos viene dada por:
Sea f unafunción continua en tal que en todo punto del intervalo. Las rectas con la gráfica de la función determinan un recinto cuya área queremos calcular. Este recinto es un trapecio mixtilíneo cuya área nos viene dada por:
La función es positiva en el intervalo
EJEMPLO.
* Halla el área del recinto limitado por la parábola el eje OX, la recta y la recta
Puesto que la función espositiva en todo su dominio, el área del recinto nos vendrá dada por:
II. Consideremos una función f continua en tal que para todo valor x del intervalo. El recinto delimitado por la gráfica de la función y las rectas queda situado por debajo del eje de abscisas.
Consideremos una función f continua en tal que para todo valor x del intervalo. El recinto delimitado por la gráficade la función y las rectas queda situado por debajo del eje de abscisas.
La función es negativa en el intervalo
definida puesto que al ser f negativa, la integral definida es negativa.
Si consideramos la función opuesta el nuevo recinto limitado por esta función y las rectas dadas, es igual al anterior, por ser simétricos respecto del eje de abscisas.
definida puestoque al ser f negativa, la integral definida es negativa.
Si consideramos la función opuesta el nuevo recinto limitado por esta función y las rectas dadas, es igual al anterior, por ser simétricos respecto del eje de abscisas.
El área del recinto es la del trapecio mixtilíneo, pero ya no nos viene dada por la integral
En consecuencia, sus áreas serán iguales y tendremos:
que es elvalor absoluto de la integral definida.
EJEMPLO.
* Halla el área del recinto limitado por la curva el eje OX, y las rectas
III. La función toma valores positivos y negativos en el intervalo
Cuando una función continua f(x) no tiene signo constante en el intervalo su gráfica determina con el eje OX varias regiones
En este caso el área del recinto pedido será la suma delas áreas de cada uno de los recintos. No podemos calcular la integral definida entre a y b, sino que será necesario calcular las áreas de cada uno de los recintos y sumarlas después.
En este caso el área del recinto pedido será la suma de las áreas de cada uno de los recintos. No podemos calcular la integral definida entre a y b, sino que será necesario calcular las áreas de cada uno de los...
Aplicaciones de la integral.
(Tema 5)
Jacob David García Luque.
1º Grado Ingeniería Mecánica.
Índice.
1.1. APLICACIÓN DE LA INTEGRAL DEFINIDA AL CÁLCULO DE ÁREAS.
1.2. VOLUMEN DE UN CUERPO DE REVOLUCIÓN.
1.3. ÁREA DE UNA SUPERFICIE DE REVOLUCIÓN.
1.4. MÉTODO DE SECCIONES CONOCIDAS.
1.5. LONGITUD DE CURVAS PLANAS.Hasta ahora hemos aprendido a calcular integrales, sin plantearnos la utilidad que éstas pueden tener. Sin embargo, la integral definida es un método rápido para calcular áreas, volúmenes, longitudes, etc.
En física, su empleo es constante, al estudiar el movimiento, el trabajo, la electricidad…
Procedamos con lasexplicaciones de las aplicaciones que tiene el cálculo integral.
1.1. APLICACIÓN DE LA INTEGRAL DEFINIDA AL CÁLCULO DE ÁREAS.
El problema que se nos plantea en este momento es calcular el área del recinto limitado por la gráfica de una función y determinadas rectas. Antes de aplicar la integral definida conviene, siempre que sea posible, representar el recintocorrespondiente y después, por sumas o restas de integrales, hallaremos el área pedida.
Podemos considerar las siguientes situaciones:
I. Sea f una función continua en tal que en todo punto del intervalo. Las rectas con la gráfica de la función determinan un recinto cuya área queremos calcular. Este recinto es un trapecio mixtilíneo cuya área nos viene dada por:
Sea f unafunción continua en tal que en todo punto del intervalo. Las rectas con la gráfica de la función determinan un recinto cuya área queremos calcular. Este recinto es un trapecio mixtilíneo cuya área nos viene dada por:
La función es positiva en el intervalo
EJEMPLO.
* Halla el área del recinto limitado por la parábola el eje OX, la recta y la recta
Puesto que la función espositiva en todo su dominio, el área del recinto nos vendrá dada por:
II. Consideremos una función f continua en tal que para todo valor x del intervalo. El recinto delimitado por la gráfica de la función y las rectas queda situado por debajo del eje de abscisas.
Consideremos una función f continua en tal que para todo valor x del intervalo. El recinto delimitado por la gráficade la función y las rectas queda situado por debajo del eje de abscisas.
La función es negativa en el intervalo
definida puesto que al ser f negativa, la integral definida es negativa.
Si consideramos la función opuesta el nuevo recinto limitado por esta función y las rectas dadas, es igual al anterior, por ser simétricos respecto del eje de abscisas.
definida puestoque al ser f negativa, la integral definida es negativa.
Si consideramos la función opuesta el nuevo recinto limitado por esta función y las rectas dadas, es igual al anterior, por ser simétricos respecto del eje de abscisas.
El área del recinto es la del trapecio mixtilíneo, pero ya no nos viene dada por la integral
En consecuencia, sus áreas serán iguales y tendremos:
que es elvalor absoluto de la integral definida.
EJEMPLO.
* Halla el área del recinto limitado por la curva el eje OX, y las rectas
III. La función toma valores positivos y negativos en el intervalo
Cuando una función continua f(x) no tiene signo constante en el intervalo su gráfica determina con el eje OX varias regiones
En este caso el área del recinto pedido será la suma delas áreas de cada uno de los recintos. No podemos calcular la integral definida entre a y b, sino que será necesario calcular las áreas de cada uno de los recintos y sumarlas después.
En este caso el área del recinto pedido será la suma de las áreas de cada uno de los recintos. No podemos calcular la integral definida entre a y b, sino que será necesario calcular las áreas de cada uno de los...
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