Aplicaciones de las matrices en diferentes situaciones

MINISTERIO DE EDUCACIÓN

Temas y Actividades Matemática

Matemática

4° año secundario

Aplicaciones de las matrices en diferentes situaciones
En una competición deportiva participan 50 atletas distribuidos en tres categorías: infantiles, cadetes y juveniles. El doble del número de atletas infantiles, por una parte excede en una unidad al número de cadetes y por otra, coincide con elquíntuplo del número de juveniles. Determiná el número de atletas que hay en cada categoría. Solución: Llamamos: x al número de atletas infantiles, y al número de atletas cadetes, z al número de atletas juveniles   x + y + z = 50 E1   x + y + z = 50 E1        Se verifica 2 x = y + 1  E 2  ⇒  y = 2 x + 1  E 2  2 x = 5 z E   E  2   3  3 z = x 5 

si sustituimos en laprimera

ecuación la “y” y la “z” en función de “x” obtenemos x =15, sustituyendo se obtiene y = 29, z =6

x + 2x − 1 +

2 x = 50 5

Nota: también lo podríamos resolver aplicando el método de Gauss. Se trata de conseguir una matriz triangular inferior de más fácil resolución...

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1 1 150   x + y + z = 50 E1       El sistema es 2 x = y + 1  E 2  ⇒La matriz es  2 − 1 0 1  E3-E2 (para 2 0 − 5 0  2 x = 5 z E    3   1 1 1 50    lograr el “0” en la ecuación (2)) ⇒  0 − 1 5 1  → E3 -2.E1 ( para lograr el “0” de 2 0 − 5 0    1 1 1 50    la E3) →  0 − 1 5 1  →E3-2.E2 para el segundo “0” de la E3→  0 − 2 − 7 − 100    1 1 1 50   x + y + z = 50   1  resulta el sistema equivalente − y + 5 z = 1 ⇒resolvemos 0 −1 5  0 0 − 17 − 102  17 z = 102    cada una de las ecuaciones:

102 ⇒ z=6 que reemplazamos en la ecuación 17 − y + 5 z = 1 ⇒ − y + 5.6 = 1 ⇒ 30 − 1 = y → 29 = y ambos resultados los empleamos en la primera: x + y + z = 50 → x + 29 + 6 = 50 → x = 50 − 29 − 6 → x = 15 17 z = 102 ⇒ z =

Te sugerimos comprobar losresultados, reemplazando cada variable por el valor obtenido. Otra situación:

Encontrá los valores de a para que la siguiente matriz inversible y hallá la inversa para a =1. Solución:

2 1 4   A =  3 5 7  no sea 1 4 a  

Para que sea no inversible el determinante debe dar 0. Entonces procedamos a calcular el determinante: 2 1 4

det( A) = 3 5 7 = (2.5.a+3.4.4+1.7.1)-(1.5.4+3.1.a+4.7.2) = 0⇒ 1 4 a

⇒(10.a+48+7)- (20+3a+56)=0⇒7a-21=0⇒a=3
Ahora calculemos la inversa para a =1,

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 2 1 4   Ahora calculá el determinante de la matriz A =  3 5 7  . 1 4 1   ¡Por favor no hagas trampa! Debería darte -14  − 23 + 4 7    adj ( A) t sería La adjunta es  + 15 − 2 − 7 en consecuencia A-1= det( A)  − 13 − 2 7   
 − 23 + 4 7     + 15 − 2 − 7   − 13 − 2 7   ⇒ A −1 = A −1 =  − 14
t

 − 23 15 − 13     23 −2 −2   4  14  7 −7 7    ⇒ A −1 =  − 2  7 − 14  1 −  2

−

15 14 1 7 1 2

13   14  1  14  1 −  2

Comprobá el resultado multiplicando A por su inversa, A-1, y deberías obtener la matriz identidad. (A.A-1 =I). Otromodelito de ejercicio: Calculá la matriz X tal que X.A-2B=C, donde Solución: X.A-2B =C
 − 1 3  0 1  − 1 0  X.  ⇒  2 5  =2.  1 1 +            3 − 1 −1  − 1 3  0 2   − 1 0   − 1 3  − 1 2   − 1 2   − 1 3 X  2 5  =  2 2  +  3 − 1 ⇒X.  2 5  =  5 1  ⇒X=  5 1   2 5                          

,

y

X.A=2B+C

Buscá lainversa de la matriz A por el método que más te guste, resolvé esta cuestión antes de seguir, − 5 3  La A −1 =   2 − 1 debería ser tu resultado, entonces ahora resolvé el producto     −1 2  − 5 3  de las matrices   5 1  .  2 − 1        − 5  9 De donde decimos que X =   − 23 14     Discutí y resolvé el siguiente sistema en los casos posibles:

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