Apunte Matrices

Matrices
Versi´on Enero de 2010
Pontificia Universidad Cat´olica de Chile

´Indice
1. Transformaciones lineales de Rn en Rm
1.1. Introducci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2. Transformaciones lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3. Matriz can´
onica de unatransformaci´
on lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2. Operaciones matriciales
2.1. Suma de matrices . . . . . . . .
2.2. Ponderaci´
on de matrices por un
2.3. Multiplicaci´
on de matrices . . .
2.4. La matriz transpuesta . . . . .
2.5. La notaci´
on A = (aij ) . . . . .

. . . . .
escalar
. . . . .
. . . . .
. . . . .

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
..
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

3. Transformaciones lineales inyectivas y sobreyectivas.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

1
1
1
4
7
7
8
9
13
1416

4. Matrices inversas
20
4.1. C´alculo de inversas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
4.1.1. Inversas por la derecha . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
4.1.2. Inversas por la izquierda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
5. Inversas de matricescuadradas

24

1.
1.1.

Transformaciones lineales de Rn en Rm
Introducci´
on

Hasta ahora, nuestro uso de matrices en sistemas de ecuaciones lineales nos ha permitido sistematizar nuestro
trabajo de resoluci´on y realizar un an´alisis, a trav´es de la definici´on de rango gaussiano, del n´
umero de soluciones
que tendremos. Pero esencialmente las matrices han actuado como una notaci´
on abreviadapara hacer m´as eficiente
nuestro trabajo, ya que toda la teor´ıa desarrollada podr´ıa realizarse, ciertamente con un lenguaje mucho m´as
complejo, de igual forma con la escritura completa de los sistemas de ecuaciones lineales.
A continuaci´on, estudiaremos las matrices desde un punto de vista distinto. El enfoque de este cap´ıtulo se basa
→
en la definici´on del producto de una matriz A por unvector −
x , que entrega una visi´on vectorial (y geom´etrica) de
los sistemas de ecuaciones lineales.
Recordemos que toda matriz A de m × n (es decir, A tiene m filas y n columnas) se puede multiplicar por
→
→
cualquier vector −
x ∈ Rn y que la definici´on del producto A−
x se realiza describiendo la matriz por sus columnas:
A=

−
→
→
c1 −
c2

···

−
→
cn ,

−
→
→
donde los vectores columnas deA, →
c1 , −
c2 , . . . , −
cn , pertenecen a Rm . Entonces:
 
x1
 x2 
 
→
→
→
→
→
→
→
cn
c2 + · · · + xn −
c1 + x2 −
cn  .  = x1 −
A−
x = −
c1 −
c2 · · · −
 .. 
xn

→
−
Por tanto, al multiplicarlo por A, a cada vector −
x ∈ Rn le corresponde un u
´ nico vector →
y ∈ Rm . Es decir, la
n
m
multiplicaci´on por A define una funci´
on de R en R :
TA : Rn −→ Rm
→
−
→
→
x −→ TA (−
x ) = A−
xEsta noci´on funcional de las matrices nos permitir´a estudiar nuevas propiedades de ellas, no relacionadas directamente con los sistemas de ecuaciones lineales.

1.2.

Transformaciones lineales

Definici´
on: Una transformaci´
on lineal (tl ) de Rn en Rm es una funci´
on
T : Rn −→ Rm
que cumple las siguientes propiedades:
→+−
→) = T (−
→) + T (−
→)
(i) T (−
x
x
x
x
1
2
1
2
→) = α T (−
→)
(ii) T (α−x
x
1
1
→, −
→
n
donde α ∈ R y −
x
1 x2 ∈ R .

Ejemplos:
1. Consideremos varias funciones T : R −→ R:
a) T (x) = x es tl, pues T (x1 + x2 ) = x1 + x2 = T (x1 ) + T (x2 ) y T (αx1 ) = αx = αT (x).
b) T (x) = x2 no es tl, pues T (x1 +x2 ) = (x1 +x2 )2 , T (x1 )+T (x2 ) = x21 +x22 y, en general, x21 +x22 = (x1 +x2 )2 .
c) T (x) = sen(x) tampoco es tl, pues sen(x + y) = sen(x) + sen(y).

1

d )...