Apuntes algebra lineal

C A P Í T U L O

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EJERCICIOS DE APLICACIÓN



Ejercicio 1.1 Analizar si las siguientes matrices [pic], [pic] y [pic] son conformables para las operaciones [pic], [pic] y [pic]. En caso de poder efectuarse las operaciones indicadas, hallar los resultados correspondientes.

[pic] ; [pic] ; [pic]
Solución:

a) [pic] no son conformables por tratarse de matricesque son de diferente orden.
b) [pic] si son conformables para la operación de resta porque son del mismo orden.

[pic]

c) [pic] si son conformables para la operación de resta porque son del mismo orden.

[pic]

Ejercicio 1.2 Dadas las matrices [pic] y [pic] efectuar la operación [pic]:

[pic] ; [pic]
Solución:
[pic]
Ejercicio 1.3 Sea [pic] en donde:

[pic] ; [pic] ; [pic][pic] [pic] [pic]

Obtener [pic] para que se satisfaga la relación dada.

Solución: Las matrices [pic] y [pic] son conformables para la operación de multiplicación, por lo tanto:

[pic]

[pic] = [pic]

Igualando los elementos que tienen la misma ubicación:

[pic]
[pic] [pic] [pic]

[pic]

Ejercicio 1.4 Dada la matriz[pic] cuadrada de orden [pic], obtener [pic].

[pic]


Solución:

a) [pic]

b) [pic]

Ejercicio 1.5 Dadas las siguientes matrices [pic] y [pic]cuadradas de orden [pic], obtener [pic] y [pic]:

[pic] ; [pic]
Solución:

a) [pic]

[pic]

b) [pic]

[pic]

Ejercicio 1.6 Sabiendo que la matriz [pic] es de la forma que se indica, demuestre que el conjunto de matrices de orden [pic]cuyoselementos son números reales, forman un espacio vectorial.

[pic] o [pic]
Solución:

El conjunto de matrices de orden [pic] forma un espacio vectorial real o espacio vectorial sobre el campo de los números reales [pic], utilizando la notación [pic] o [pic], y satisface las dos condiciones requeridas cuando es tratado como conjunto de vectores (renglones o columnas). [pic]

1. Forma un grupoabeliano con respecto a la operación de adición.
2. Existe la función de multiplicación de un escalar por una matriz.

La existencia de un espacio vectorial de dimensión [pic] sobre el campo de los números reales [pic] se fundamenta en la verificación de que se satisfacen los siguientes axiomas para las operaciones de suma y multiplicación por un escalar:

1. Para la operación de adición

1.1Cerradura bajo la suma

Si [pic], entonces, [pic] ya que para toda [pic] se tiene que [pic]

1.2 Asociatividad de la suma de matrices

[pic]; [pic]

1.3 Existencia del elemento idéntico para la suma (matriz nula o cero)

[pic] tal que [pic], [pic]

1.4 Existencia del elemento inverso aditivo (matriz negativa de [pic])

Si [pic], existe una matriz [pic], tal que [pic]

1.5Conmutatividad de la suma de matrices

Si [pic], entonces [pic]

2. Para la multiplicación de un escalar por una matriz

2.1 Cerradura para la multiplicación de una matriz por un escalar

Si [pic] y [pic] es un escalar, entonces [pic]

2.2 Distributividad de la multiplicación por un escalar con respecto a la suma de matrices

Si [pic] y [pic] es un escalar, entonces [pic]

2.3 Distributividad dela multiplicación por un escalar con respecto a la suma ordinaria


Si [pic] y [pic] son dos escalares, entonces [pic]

2.4 Asociatividad de la multiplicación por escalares

Si [pic] y [pic] son dos escalares, entonces [pic]


2.5 Para cada matriz [pic] implica que [pic]

Ejercicio 1.7 Dadas las siguientes matrices cuadradas [pic], [pic] y [pic] definidas a continuación, hallar sutranspuesta:
[pic] ; [pic] ; [pic]
Solución:
[pic] ; [pic] ; [pic]

Ejercicio 1.8 Dadas las siguientes matrices rectangulares [pic], [pic] y [pic] definidas a continuación, hallar su transpuesta:
[pic] ; [pic] ; [pic]
Solución:

[pic] ; [pic] ; [pic]



Ejercicio 1.9 Dadas las siguientes matrices [pic] y [pic] definidas a continuación:

[pic] ; [pic]

Obtener:...