apuntes calculo II

APUNTE CALCULO II

Profesor: Enrique Ceballos
Ayudante: Soledad Pérez

ÍNDICE

Capítulo 1 Derivadas parciales






Derivadas parciales de primer orden
Derivadas parciales de orden superior
Aplicación de las derivadas parciales
Máximos y mínimos relativos
Multiplicadores de Lagrange

Capítulo 2 Integrales
 Integrales indefinidas
 Integrales definidas
 ÁreasCapítulo 3 Ecuaciones Diferenciales
 Ecuaciones Diferenciales separables

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Capítulo 4 Integrales Múltiples

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 Integrales Múltiples

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2

Capítulo 1

Derivadas Parciales
Derivadas de primer orden
Dada z = f(x, y), sus primeras derivadasparciales fx y fy se denotan
por:

z
f ( x, y)  f x ( x, y)  z x 
x
x

y


z
f ( x, y)  f y ( x, y)  z y 
y
y

Ejemplo 1

Hallar las derivadas parciales fx y fy de la función
f ( x, y )  3 x  x 2 y 2  2 x 3 y

Solución
Considerando y como constante y derivando en x obtenemos:
f x ( x, y)  3  2 xy 2  6 x 2 y

Ahora consideramos x como constante yderivando en y, se obtiene:
f ( x, y )  2 x 2 y  2 x 3

3

Ejemplo 2

Con la función dada, hallar fx y fy, y evaluarlas en el punto (1, ln2)
f ( x, y )  xe x

2

y

Solución
Para él calculo de fx tomamos en cuenta la formula de derivación de un
producto:
[f(x)*g(x)]´= f´(x)*g(x)+f(x)*g´(x)

Por lo tanto fx
f x ( x, y)  e x y  xe x y * 2 xy
2

2

la derivada parcial de f conrespecto de x en (1, ln2) es
f x (1, ln 2)  e ln 2  e ln 2 * 2 ln 2  2  4 ln 2

Ahora calculamos fy
f y ( x, y )  xe x y * x 2
2

evaluada en (1, ln2)
f y (1, ln 2)  e ln 2  2

4

Ejercicios Resueltos.
1.

Hallar

la

primera

f ( x, y )  2 x  3xy  4 y
2

derivada

parcial

de

la

función

2

Para calcular fx consideramos y como constante yobtenemos:
f x ( x, y )  4 x  3 y

Y al considerar x como constante obtenemos:
f y ( x, y)  3x  8 y

2.

Hallar la primera derivada parcial de la función z 

x2 y2

y
x

Calculamos fx:
f x ( x, y ) 

2x y 2

y x2

Para él calculo del segundo termino de la función,
utilizamos la formula de derivación por cuociente:
´

 f ( x) 
f ´( x) g ( x)  f ( x) g´( x)

, Aquítomamos en cuenta
 g ( x)  

g 2 ( x)



a y como una constante.

5

3.

Hallar

la

primera

z  sen(2x  3 y)

derivada

parcial

de

la

función

Para esta derivada tenemos que realizar la regla de la
cadena, por lo que primero derivamos la función seno y la
multiplicamos por la derivada de su argumento.

Por lo que para fx, quedaría:
f x ( x, y ) cos(2 x  3 y ) * 2  2 cos(2 x  3 y )

y para fy
f y ( x, y)  cos(2 x  3 y) * 3  3 cos(2 x  3 y)

4.

Hallar la primera derivada parcial de la función z  e x  xy
2

Calculamos fx y fy por regla de la cadena, y obtenemos:
f x ( x, y )  e x

2

 xy

* (2 x  y )  2 xe x

f y ( x, y )  e x

2

 xy

* x  xe x

2

2

 xy

 ye x

2

 xy

 xy

65.

Hallar las primeras derivadas parciales de la función
x2  y2
f ( x, y) 
ln x

Por derivación del cuociente se obtiene:
f

x

x2  y2
2 x 2 ln x  x 2  y 2
x

(ln x) 2
x ln 2 x

2 x ln x 

f 2 y ln x  0 2 y


y
ln x
ln 2 x

6.

Hallar la primera derivada parcial de la función z  x 2  y 2

Derivamos primero la raíz y la multiplicamos por laderivada de la función interior.
f x ( x, y ) 

f y ( x, y ) 

1
2 x2  y2

1
2 x2  y2

* 2x 

* 2y 

x
x2  y2

y
x2  y2

7

7.

Hallar la primera derivada parcial de la función f ( x, y) 

x y
x y

Derivamos utilizando la formula de derivación por división.

f x ( x, y ) 

f y ( x, y ) 

8.

1( x  y )  1( x  y )
2y

2
( x  y)
( x  y) 2...