Apuntes de Analisis Matematico - Prof. Carnevalli

Analisis II
Conjuntos:
Abierto: Es aquel que no incluye la frontera(todos los puntos son interiores).
Cerrado: Es aquel que incluye toda su frontera.
Acotado: R es acotado si  k>0 / R  E(0,k)
Compacto: cerrado y acotado.
Conexo: Cuando dados 2 puntos cualesquiera del conjunto, se los puede unir con una curva que este incluida en el conjunto.
Convexo: Cuando dados 2 puntos cualesquieradel conjunto, el segmento que los une esta incluido en el conjunto.

Si es convexo: No es convexo:
Funciones:
F: A  Rm  , m>1 campo vectorial
F: A  Rn  R , m=1 campos o funciones escalares
Conjunto de nivel(para campos escalares):
Definicion: dada F: A  Rn  R y k  R, se llama conjunto de nivel k de F al conjunto de puntos de A tal que F(x)= k
Para f: A  R2  R F(x,y) = k =>curva de nivel
Para f: A  R3  R F(x,y,z) = k => superficie de nivel















Interpretacion geométrica: El conjunto de nivel k de una funcion de 2 variables x e y es la sombra o la proyeccion de la curva que resulta de intersectar el grafico de la funcion con el plano z=k.
Superficie de nivel:
F(x,y,z)=k
Ejemplos:
1)3x-2y+z=k para k=1 3x-2y+z=1 (x,y,z)(3,-2,1)=kfijo
para k=-2 3x-2y+z= -2 (x-a).v=0 x.v=a.v 

Si varío k, varío el origen del plano(lo desplazo) k
A medida que vario k me van quedando planos paralelos.

Ejemplos:
F(x,y)=y-2x , x  R2
Planteo F(x,y)=k , k  R  y-2x=k  y=2x+k
F(x,y,z)=z-x2-y2-4
Panteo F(x,y,z)=k z-x2-y2-4=k z=x2+y2+4+k


Parametrizaciones: Curvas en R2
a)F(x)=x2 , x  [-1,4]
Ecuacioncartesiana del grafico de F: y= F(x) => Y=x2 , -1 x4
Ecuacion vectorial del grafico de F x=(t,t2) , t  [-1,4]
Ecuaciones parametricas del grafico de F x=t y=t2 , t  [-1,4]
La funcion g: [-1,4]  R2 se denomina parametrizacion del grafico de F y esta definida por: g(t)= (t,t2) , t  [-1,4]
b)F(x)=2x+1 , x  R Ec cartes y=2x+1, x  R.
Parametrizacion: intento x=t  y=2t+1 } g(t)=(t,2t+1), t  R
X=(t,2t+a), t  R Ec vectorial.
Parametrzacion de una circunferencia:
X2+y2=R2 EP x=R cos(t) , t  [0,2]
y=R sen(t)
EV x=( R cos(t), R sen(t)) , t  [0,2]
G=( R cos(t), R sen(t)) , t  [0,2]
Obs: Para recorrer las curvas de manera inversa a la normal: de [a,b] pasa a [-b,-a]
Curva: Definicion: Dada una funcion g: [a,b] R  Rn , continua, se llama curvaal conjunto imagen de g
Curva no completa= arco de curva.
Curvas en R3
Z+y=3 EP= x= t
Y=x2 y= t2 EVG(t)=(t,t2,3-t2), t  R
Z=3-t2

Superficie: Definicion: Dada una funcion g: A  R2  Rn , continua, se llama superficie al conjunto imagen de g
Limites: Prpiedades:
6) si lim F(x) = b y lim g(y) = L  lim (goF)(x) = L
xa yb xa
7)si lim F(x) = L lim Fi(x) = Li ,1 i  m (se acercan las compenentes).
xa ya
Limites por curvas: Si no  el lim para alguna curva parametrizada por g tal que g(t0) =A no  lim F(x)
xa
Ejemplo: lim x-y-2
x(1,1) x-1
Tomo y=1  lim x-1 = 1 Tomo x=1  lim y-1 = -1 .Luego, no existe lim lim F(x,y)
x1 x-1 y1 1-y x(1,1)
Obs:La curva quepropongo, debe pasar por el punto de trabajo del limite.


Recordar: x x  x2  x2+y2  x2  1
x2+y2
Continuidad:
5) F continua en x0 yG continua en F(x0)  (G0F) continua en x0.
6) F continua en x0 Fi continua en  x0 , 1 i  m
Tipos de discontinuidad:
1) Esencial: cuando no existe lim F(x)
xx0
2)Evitable: cuando existe el lim pero noF(x0) o bien  F(x0) pero lim F(x0)


Derivabilidad: Definicion: derivada direccional: dada F: A  Rn  Rm , x0 y ř  Rn, se define la derivada direccional de F en x0 según el versor ř como:
F ’ (x0 , ř) = lim F (x0+h.ř) – F (x0) = F(x0)
h0 h  ř

Propiedades: principio de homogeneidad: F ‘ (x0, ř )=  F ‘ (x0, ř ) ,   0,   R

Propiedad 2:...