apuntes laplace

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Segundo semestre de 2011

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Apuntes Transformada de Laplace (MAT023)

1.

Introducción

La transformada de Laplace es un ejemplo de un operador. Este opera sobre una función, produciendo otra función. La transformada de Laplace es un método útil para resolver ecuaciones
diferenciales y problemas de valor inicial con condiciones en la frontera. También permite resolverecuaciones integrales ó íntegro-diferenciales. Esencialmente, estos problemas se resuelven en 3 pasos: en primer lugar, se transforma el problema en uno más sencillo, luego se resuelve el problema
sencillo y, finalmente, la solución obtenida se transforma en el sentido inverso, obteniéndose la
solución al problema original.
Definición
Supongamos que f (t) es una función definida para todo t > 0.Definimos la transformada de
Laplace de f a la siguiente integral, si ésta converge:
∞

f (t) e−st dt

L(f )(s) = F (s) =

para s > 0

0

Además:

f (t) = L−1 (F (s)),

es la transformada de Laplace inversa de F .

Observación
Es importante recordar que la integral impropia anterior se define por:
∞

T

f (t) e−st dt = l´ım

T →∞

0

f (t) e−st dt
0

Notar, además,que el resultado de esta integral es una función en la variable s, lo que explica
la notación F (s).
Ejemplos:

Calcular la transformada de Laplace de las siguientes funciones:

1. f (t) = 1,

∀t > 0
∞

L(1)(s) = F (s) =

T

1· e
0

−st

−st

1· e

dt = l´ım

T →∞

0

−e−st
dt = l´ım
T →∞
s

T

=
0

Universidad Técnica Federico Santa María

VerónicaGruenberg Stern
Vivian Aranda Núñez

Universidad Técnica Federico Santa María
Departamento de Matemática

T →∞

=

1
s

siempre que s > 0.

∀t > 0
∞

T

eat · e−st dt = l´ım

L(eat )(s) = F (s) =

T →∞

0
T

−e−(s−a)t
= l´ım
T →∞
s−a
siempre que s > a.

e−(s−a)t dt
0

−e−(s−a)T
e−(s−a)·0
+
s−a
s−a

= l´ım

T →∞

0

=

1
s−a

Universidad TécnicaFederico Santa María

2. f (t) = eat ,

✞ ☎

Si s < 0, la integral diverge.

∀t > 0

3. f (t) = t,

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1
−e−sT
+
s
s

= l´ım

∞

T

t e−st dt = l´ım

L(t)(s) = F (s) =

T →∞

0

L(t)(s) = l´ım

T →∞

T

T

−
0

0

T →∞

dv = e

−st

−e−st
−t e−st
dt = l´ım
T →∞
s
s

e−sT
1
−t e−sT
− 2 + 2
s
s
s

= l´ım

0

u = t ( ∴ du = dt)∧

Integrando por partes, con
−t e−st
s

t e−st dt
dt

T

0

−e−st
:
∴v=
s

e−st
− 2
s

T

=
0

−T
1
1
− l´ım 2 sT + l´ım 2
sT
T →∞ s e
T →∞ s e
T →∞ s

= l´ım

Usando la regla de L’Hôpital:
−T
−1
= l´ım 2 sT = 0
sT
T →∞ s e
T →∞ s e

⇒

l´ım

L(t)(s) = 0 − 0 +

1
1
= 2
2
s
s

Notar que, usando integración por partes, se tiene que ∀n ∈ N:
∞n

n

L(t )(s) =

−st

t e
0

e−st
dt = t · (−
)
s

∞

n

0

n
+
s

∞

tn−1 e−st dt =
0

n
L(tn−1 )(s)
s

Luego, es posible probar inductivamente, que:
L(tn )(s) =

MAT023 (2◦ sem. 2011)

n!
sn+1

∀n ∈ N

2

Universidad Técnica Federico Santa María
Departamento de Matemática

∀t > 0
∞
T →∞

−st

sen(bt) e
0

e−st
dt = −
cos(bt)
be−st
= −
cos(bt)
b

T

T

−
0

0
T

−
0

0

u = e−st

Para usar integración por partes, hacemos
cos(bt)
sen(bt) dt ⇒ v = −
:
b
T

sen(bt) e−st dt

dt = l´ım

du = −s e−st dt

⇒

∧

dv =

s · e−st
cos(bt) dt
b
T

s
b

e−st cos(bt) dt
0

Hacemos
u = e−st

du = −s e−st dt

⇒

∧

⇒

dv = cos(bt) dt

v=

sen(bt)
b

y usando integraciónpor partes nuevamente:
T

sen(bt) e−st
0

e−st
dt = −
cos(bt)
b
e

b

−
0

−

cos(bt)
0

e−st
= −
cos(bt)
b

T

0

T

s
b

e−st cos(bt) dt
0



T

−st

= −

T

−st

s e
sen(bt)
b
b

s e−st
−
sen(bt)
b2

T

−
0

0

T

−
0

T

s2
b2

−s e
b



−st

sen(bt) dt

T

sen(bt) e−st dt
0

T

sen(bt) e−st...