Apuntes Metodos Numericos Aproximacion Funcional E Interpolacion



2.2. APROXIMACIÓN FUNCIONAL E INTERPOLACIÓN




2.2.0. INTRODUCCIÓN
2.2.1. APROXIMACIÓN POLINOMIAL SIMPLE E INTERPOLACIÓN LINEAL
2.2.2. POLINOMIO DE APROXIMACIÓN DE LAGRANGE

2.2.3. DIFERENCIAS DIVIDIDAS
2.2.4. APROXIMACIÓN POLINOMIAL DE NEWTON

2.2.5. POLINOMIO DE APROXIMACIÓN DE NEWTON EN DIFERENCIAS FINITAS: HACIA DELANTE – HACIA ATRÁS

2.2.6. ESTRUCTURA DEL POLINOMIO DE NEWTON ENDIFERENCIAS DIVIDIDAS HACIA ATRÁS DE GRADO n EN xn

2.2.7. APROXIMACIÓN POLINOMIAL SEGMENTARIA

2.2.8. EJERCICIOS Y APLICACIONES SOBRE INTERPOLACIÓN Y APROXIMACIÓN FUNCIONAL










2.2. APROXIMACIÓN FUNCIONAL E INTERPOLACIÓN,
2.2.0. INTRODUCCIÓN
En el campo de la matemática aplicada es de gran importancia la manera como determinar una función o funciones a partir de un conjunto de datos discretos,i.e., puntos tabulados, situación que siempre se enfrenta cualquier investigador, para decir generalmente un Ingeniero siempre tiene al frente esta problemática fenómeno que será el objetivo de este ítem.
Pues es común encontrar datos con valores discretos, y sin embargo nosotros queremos encontrar valores entre estos puntos discretos, y esto es lo que lo llamamos ajuste de curvas y,generalmente se usa el procedimiento de mínimos cuadrados.
Cuando existe un conjunto de datos muy precisos, en este caso se usa lo que se llama interpolación.
Las funciones de aproximación generalmente es obtenida por combinación lineal de funciones elementales, que toman la forma de:

En donde:
ai: Son constantes que deseamos encontrar, i=1,2,...,n
gi(x): Son funciones elementales específicas,i=1,2,...,n
Ejemplo:
1. gi (x): Puede ser la familia de monomios en luego tenemos la combinación lineal:

2. La familia de funciones elementales de Fourier, en función de “x”
1, sen x, cos x, sen 2x, cos 2x, sen 3x, cos 3x,..
La combinación lineal que genera aproximaciones de la forma:

3. La familia de funciones exponenciales en x:

Que proporciona la siguiente combinación lineal

Observación:
1. Delas tres familias observadas podemos decir que la primera es la más utilizada y la más sencilla en su manejo.

2. ¿Qué buscamos en esta unidad?
Buscamos unan función f(x) a partir de una tabulación funcional f (x):
Punto
0
1
2
.....
n
Variable
x0
x1
x2
....
xn
Función
f (x0)
f (x1)
f (x2)
.......
f (xn)

Es decir queremos aproximar a f(x) por medio de la familia elemental de monomios esdecir,
, que se puede realizar por medio de los siguientes criterios:
Ajuste exacto
Mínimos cuadrados

Ajuste Exacto:
Consiste en determinar una función polinomial que pase por los puntos proporcionados tubularmente. Esto es:

Mínimos Cuadrados:
Consiste en determinar una función polinomial que pase por los puntos y que cumpla la condición de minimizar la suma de las desviaciones (di) elevados alcuadrado.
i.e.; = mínimo
Encontrado el polinomio de aproximación podemos utilizarlo para determinar otros puntos que no están en la tabla, mediante una evaluación, fenómeno que se llama Interpolación, así mismo se puede derivar o integrar con la finalidad de buscar alguna otra información adicional de la función tabular.

2.2.1. APROXIMACIÓN POLINOMIAL SIMPLE E INTERPOLACIÓN LINEAL
Podemosdecir que la interpolación lineal es el eje para muchos métodos numéricos y de gran relevancia en la ingeniería, puesto que una gran información se encuentra en su forma tabular como veremos más adelante y es usado por una diversidad de métodos numéricos, por ejemplo si integramos este método tendremos el método de integración trapezoidal.
¿En qué consiste este método?
Supongamos que tenemos lossiguientes cuadros:
Puntos
0
1
2
3
4
5
6
f(x)
56
78
113
144
181
205
214
X
1
2
5
10
20
30
40

Puntos
0

1
2
3
f(x)
56
¿-?
113
181
214
X
1
2
5
20
40

Supongamos por un instante que sólo se dispone del cuadro 2 y que queremos el valor de la variable “y=f(x)” cuando x tiene un valor de 2 unidades. Una manera muy común es considerar la ecuación de una línea recta así:
, y sustituirlos valores de los...