Apuntes Unidad II Vectores
Páginas: 7 (1740 palabras)
Publicado: 1 de abril de 2015
Unidad 2
Vectores
2.
VECTORES .........................................................................................2
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
2.6
2.7
2.8
2.9
2.10
Magnitudes escalares .....................................................................2
Magnitudes vectoriales...................................................................2
Suma de vectores(método gráfico)………………………….….…….2
Inverso de un vector y sustracción …………………………….…….3
Multiplicación de un vector por un escalar………………………….3
Componentes de un vector………………………………………………4
Suma analítica de vectores……………………………………………...4
Producto punto……………………..……………………………………..8
Producto cruz………….…………………………………………..…….10
Algunas aplicaciones de vectores en mecánica……………………..12
2.Vectores
2.1 Magnitudes escalares
Son magnitudes físicas quequedan completamente definidas especificando sólo
un número. Ejemplo: longitud, área, tiempo, energía, trabajo.
2.2 Magnitudes vectoriales
Son cantidades físicas que quedan definidas especificando la
dirección. Ejemplo: velocidad, aceleración, fuerza, torque, etc.
magnitud, y
2.3 Suma de vectores (método gráfico)
El método consiste en colocar un vector a continuación de otro y el vectorresultante de la suma es el vector que une el extremo inicial del primer vector y
final del segundo o último si son más de dos vectores.
Un método equivalente es la ley del paralelogramo.
Ambos vectores se llevan a un origen común y se completa el paralelogramo de
modo que el vector resultante corresponde a su diagonal.
2.4 Inverso de un vector y sustracción de vectores
r
Inverso de un vector. Elinverso de un vector a
corresponde a otro vector de igual magnitud y
dirección, pero sentido opuesto.
A partir del inverso de un vector se puede escribir
r r
la resta entre dos vectores a y b , como la suma
r
r
entre a y el inverso de b , es decir:
r r r
r
a − b = a + −b
( )
2.5 Multiplicación de un vector por un escalar
r
Al multiplicar un vector a por un escalar c, si c es positivo, no afectael sentido y
r
r
r
ca tiene la misma dirección que a y magnitud c a . Si c es negativo, se invierte
la dirección del vector.
2.6 Componentes de un vector
Cualquier vector puede escribirse como una combinación lineal de los vectores $i ,
$j , y k$ . Así, para un vector en dos dimensiones sus componentes escalares
pueden escribirse como:
y
r
a x = a cos θ = a cos θ
r
a y = a senθ = a sen θ
ay
ra
De modo que :
r
a = ax $i + a y $j
Si se considera un vector cualquiera, en
tres dimensiones este se puede escribir
como:
r
a = a $i + a $j + a k$
x
y
az
z
z
En este caso su magnitud se obtendrá como
r
a = a = ax 2 + a y 2 + az 2
2.7 Suma analítica de vectores
Sean los vectores
r
a = ax $i + a y $j + az k$
r
b = bx $i + by $j + bz k$
r
r
La suma de ambos a y b se expresa como:
r r
a +b = ( a x + bx ) $i + a y + by $j + ( a z + bz ) k$
(
)
ax
x
Algunas propiedades del algebra de vectores
r r r r
a+b =b+a
r r r
r r r
a+ b+c = a+b +c
(Asociatividad)
r r
r
r
k a + b = k a + kb
(Distributividad )
(
(
) (
)
)
(Conmutatividad)
Ejemplo.
Cuatro vectores se encuentran en el
ur
plano xy. El módulo del vector A es
de 20 unidades y forma un ángulo de
ur
40° con el ejex. El vector B , tiene
magnitud de 15 unidades y forma un
ángulo de 30° respecto del eje y
ur
C
negativo. El vector
, tienen 10
unidades de módulo y un triángulo
rectángulo de catetos 4 y 3 puede
formarse bajo él, tal como se indica
ur
en la figura. Un vector D parte en el
origen y termina en el punto
(-6, 7). Escriba cada vector en término de sus componentes canónicas, el módulo del
ur
ur
urur ur ur
vector D y el vector resultante de los cuatro vectores R = A + B + C + D .
Solución.
ur
En la figura se muestra el vector A y sus respectivas
componentes, a partir de lo cual puede escribirse:
A
cos ( 40° ) = urx
A
ur
Ax = A cos ( 40° ) = 20 ⋅ cos ( 40°) = 15.3
y
ur
A
Ay
x
40°
A
sen ( 40° ) = ury
A
Ax
ur
Ay = A sen ( 40°) = 20 ⋅ sen ( 40° ) = 12.9
ur
A = 15.3$i + 12.9...
Vectores
2.
VECTORES .........................................................................................2
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
2.6
2.7
2.8
2.9
2.10
Magnitudes escalares .....................................................................2
Magnitudes vectoriales...................................................................2
Suma de vectores(método gráfico)………………………….….…….2
Inverso de un vector y sustracción …………………………….…….3
Multiplicación de un vector por un escalar………………………….3
Componentes de un vector………………………………………………4
Suma analítica de vectores……………………………………………...4
Producto punto……………………..……………………………………..8
Producto cruz………….…………………………………………..…….10
Algunas aplicaciones de vectores en mecánica……………………..12
2.Vectores
2.1 Magnitudes escalares
Son magnitudes físicas quequedan completamente definidas especificando sólo
un número. Ejemplo: longitud, área, tiempo, energía, trabajo.
2.2 Magnitudes vectoriales
Son cantidades físicas que quedan definidas especificando la
dirección. Ejemplo: velocidad, aceleración, fuerza, torque, etc.
magnitud, y
2.3 Suma de vectores (método gráfico)
El método consiste en colocar un vector a continuación de otro y el vectorresultante de la suma es el vector que une el extremo inicial del primer vector y
final del segundo o último si son más de dos vectores.
Un método equivalente es la ley del paralelogramo.
Ambos vectores se llevan a un origen común y se completa el paralelogramo de
modo que el vector resultante corresponde a su diagonal.
2.4 Inverso de un vector y sustracción de vectores
r
Inverso de un vector. Elinverso de un vector a
corresponde a otro vector de igual magnitud y
dirección, pero sentido opuesto.
A partir del inverso de un vector se puede escribir
r r
la resta entre dos vectores a y b , como la suma
r
r
entre a y el inverso de b , es decir:
r r r
r
a − b = a + −b
( )
2.5 Multiplicación de un vector por un escalar
r
Al multiplicar un vector a por un escalar c, si c es positivo, no afectael sentido y
r
r
r
ca tiene la misma dirección que a y magnitud c a . Si c es negativo, se invierte
la dirección del vector.
2.6 Componentes de un vector
Cualquier vector puede escribirse como una combinación lineal de los vectores $i ,
$j , y k$ . Así, para un vector en dos dimensiones sus componentes escalares
pueden escribirse como:
y
r
a x = a cos θ = a cos θ
r
a y = a senθ = a sen θ
ay
ra
De modo que :
r
a = ax $i + a y $j
Si se considera un vector cualquiera, en
tres dimensiones este se puede escribir
como:
r
a = a $i + a $j + a k$
x
y
az
z
z
En este caso su magnitud se obtendrá como
r
a = a = ax 2 + a y 2 + az 2
2.7 Suma analítica de vectores
Sean los vectores
r
a = ax $i + a y $j + az k$
r
b = bx $i + by $j + bz k$
r
r
La suma de ambos a y b se expresa como:
r r
a +b = ( a x + bx ) $i + a y + by $j + ( a z + bz ) k$
(
)
ax
x
Algunas propiedades del algebra de vectores
r r r r
a+b =b+a
r r r
r r r
a+ b+c = a+b +c
(Asociatividad)
r r
r
r
k a + b = k a + kb
(Distributividad )
(
(
) (
)
)
(Conmutatividad)
Ejemplo.
Cuatro vectores se encuentran en el
ur
plano xy. El módulo del vector A es
de 20 unidades y forma un ángulo de
ur
40° con el ejex. El vector B , tiene
magnitud de 15 unidades y forma un
ángulo de 30° respecto del eje y
ur
C
negativo. El vector
, tienen 10
unidades de módulo y un triángulo
rectángulo de catetos 4 y 3 puede
formarse bajo él, tal como se indica
ur
en la figura. Un vector D parte en el
origen y termina en el punto
(-6, 7). Escriba cada vector en término de sus componentes canónicas, el módulo del
ur
ur
urur ur ur
vector D y el vector resultante de los cuatro vectores R = A + B + C + D .
Solución.
ur
En la figura se muestra el vector A y sus respectivas
componentes, a partir de lo cual puede escribirse:
A
cos ( 40° ) = urx
A
ur
Ax = A cos ( 40° ) = 20 ⋅ cos ( 40°) = 15.3
y
ur
A
Ay
x
40°
A
sen ( 40° ) = ury
A
Ax
ur
Ay = A sen ( 40°) = 20 ⋅ sen ( 40° ) = 12.9
ur
A = 15.3$i + 12.9...
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