apuntes

Introducción a la Transformada Wavelet

DESCOMPOSICIÓN DE SEÑALES

Transformada Wavelet Curso 2006
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Introducción
Para una mejor comprensión de los capítulos siguientes desarrollaremos aquí algunos
conceptos matemáticos necesarios para nuestro trabajo. Se definirán los conceptos de Espacio
de Hilbert, Ortogonalidad y Bases Ortogonales, además de realizar una breve descripción delAnálisis de Fourier, sus usos y aplicaciones así como también sus limitaciones.

1.1 Generalidades
Por razones de claridad comenzaremos definiendo el espacio métrico sobre el que
vamos a trabajar: el espacio L2 [−∞,+∞] de Hilbert.

1.1.1 Espacios de Hilbert
El espacio H de Hilbert es un espacio vectorial cuyos elementos pertenecen al plano
complejo C [4]. Sea H el conjunto de elementos delespacio H. Los vectores complejos de este
conjunto pueden ser sumados con las reglas usuales de la aritmética de vectores (propiedad
aditiva) y multiplicados por escalares (números complejos).
El espacio H está dotado de una métrica y de un producto interno. Consideraremos
en particular el espacio H formado por funciones vectoriales fn. Si f y g son funciones del
conjunto H de H, el productointerno para este conjunto de funciones es un escalar definido
por
< f , g >=

+∞

∫ f * ( x) g ( x)dx,

(1.1)

−∞

donde f * ( x ) es el complejo conjugado de f(x) [5]. El producto escalar o interno de la función
f con sí misma es un número real no negativo. En particular, si la función f ∈ C, entonces
satisface la condición:
+∞

∫

2

f (t ) dt < ∞,

(1.2)

−∞

esteespacio métrico recibe el nombre de Espacio de Hilbert L2 [−∞,+∞].

1.1.2 Ortogonalidad. Bases Ortonormales
Se dice que dos vectores x e y son ortogonales en un Espacio Hilbert H si su
producto interno es cero:
< x,y > = 0

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Se le llama conjunto ortogonal a aquel conjunto de vectores en el cual cualquier par
de sus elementos es ortogonal. Además, esteconjunto es ortonormal si la norma de los
vectores es igual a uno:
|| x ||= < x, x > = 1

También se define a la base ortonormal de H como un conjunto ortonormal maximal
en H si cualquier vector en H puede ser representado como el límite de las combinaciones
lineales de los elementos de una base ortonormal [5].

1.2 Análisis de Fourier
En 1807, Jean B. Fourier demostró que una función podíaser desarrollada en
términos de series trigonométricas, y que se podían obtener, por integración, fórmulas para los
coeficientes del desarrollo. Para comprender mejor esto daremos algunas definiciones previas.

1.2.1 Funciones periódicas
Dado que los términos de las series trigonométricas son periódicos es lógico deducir
que las funciones que se van a desarrollar mediante dichas series debenser también
periódicas.
Se dice que una función f(x) tiene un período P o es periódica con un período P si
para todo x, f(x+P) = f(x), donde P es una constante positiva. El menor valor de P > 0 se
llama el período mínimo o período de f(x) [6].

1.2.2 Coeficientes y Series de Fourier
Los desarrollos en Series de Fourier, Ec. (1.5), tienen dos aplicaciones
fundamentales:
(a) representar unafunción f(x) definida en el intervalo (−c, c), para valores de x en ese
intervalo, o
(b) representar una función periódica con período 2c para todos los valores de x.
La función f(x) puede ser proyectada en una base ortonormal de funciones {φk(x)}, de
la siguiente forma:
f(x) = c1φ1(x) + c2φ2(x) + ... + ckφk(x) + ...

(−c < x < c)
k = 1, 2, ...

Se espera que el desarrollo de f(x)converja a la función f(x) [7].

(1.3)

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Se puede demostrar que los coeficientes ck de la suma son los coeficientes de Fourier
de f(x) con respecto a la base ortonormal {φk(x)} [7] . Estos coeficientes pueden expresarse
como:
c

ck = ∫ f ( x) φ k* ( x)dx

k = 1, 2, ...

(1.4)

−c

siendo φ* el complejo conjugado de φ.
La serie de la Ec. (1.3)...