Apuntes1

´
Control Optimo

1

1.1

Introducci´
on

El control ´optimo es una rama del control moderno que se relaciona con el dise˜
no de controladores
para sistemas din´amicos tal que se minimice una funci´on de medici´on que se denomina ´ındice de
desempe˜
no o costo del sistema.
En t´erminos mas formales, su objetivo principal de la teor´ıa de control ´optimo es determinar las
se˜
nales de control quecausan a un proceso el satisfacer las restricciones f´ısicas que se tengan y
asimismo minimizar o maximizar segun sea el caso cierto criterio de desempe˜
no deseado.
La soluci´on de algunos problemas de control no es posible obtenerla usando m´etodos de control
cl´asicos. Esto puede ser ya sea debido a su complejidad, o que se requieran satisfacer ciertos
par´ametros relacionados con su desempe˜no. Un ejemplo t´ıpico de esto es el dise˜
no de un sistema
de control de altitud para una nave espacial que minimice el gasto de combustible.
El problema de control ´optimo se puede representar matematicamente en las siguientes partes:
1. La descripci´on del proceso a controlar (modelo del sistema).
2. La descripci´on de las restricciones f´ısicas.
3. La descripci´on del objetivo buscado.
4. Ladescripci´on de algun criterio para describir el desempe˜
no ´optimo (´ındice de desempe˜
no).
Ejemplos b´asicos de control ´optimo.
Enunciado de control ´optimo.

1.1.1

Problema t´ıpico de control ´
optimo

Como se ha mencionado, hay tres partes principales que se deben considerar en un problema
de control ´optimo. El modelo matem´atico del sistema din´amico, las restricciones a las que est´asujeto el sistema, y el ´ındice de desempe˜
no que se desea evaluar. A continuaci´on se estudia un
problema particular analizando estas tres partes principales.
Modelo Matem´atico
Descripci´on matem´atica sencilla o simplificada de un sistema f´ısico, que en forma adecuada
describe la respuesta del sistema real a una o varias entradas. La siguiente es una representaci´on
de un modelo de un sistemadin´amico como ecuaciones diferenciales en t´erminos de variables de
estado:
˙
x(t)
= f (x(t), u(t), t); x ∈ Rn , u ∈ Rm
(1.1)
x˙ 1 (t) = f1 (x1 (t), x2 (t), · · · , xn (t), u1 (t), u2 (t), · · · , um (t), t)
x˙ 2 (t) = f1 (x1 (t), x2 (t), · · · , xn (t), u1 (t), u2 (t), · · · , um (t), t)
..
.
x˙ n (t) = f1 (x1 (t), x2 (t), · · · , xn (t), u1 (t), u2 (t), · · · , um (t), t)

(1.2)
(1.3)
(1.4)
(1.5)donde el vector de estados del sistema se define como:




u1 (t)
x1 (t)
 u2 (t) 
 x2 (t) 




x(t) =  ..  , u(t) =  .. 
 . 
 . 
um (t)
xn (t)

(1.6)

A continuaci´on se presenta un ejemplo t´ıpico de control ´optimo, el cual ilustra lo que representa
una restricci´on y de forma similar el ´ındice de desempe˜
no.
Ejemplo 1.1.1. Un automovil est´a inicialmente en reposo.Despu´es del tiempo inicial, este se
pone en movimiento en linea recta hasta detenerse a una distancia e.
Para identificar y definir los elementos del sistema de control ´optimo, el problema se puede
plantear de la siguiente manera:
Definir las variables del problema.
Se sabe que y(t) es la distancia o desplazamiento recorrido del auto desde 0 en el tiempo t.
De los conocimientos b´asicos de f´ısica, esposible conocer que la derivada de la variable anterior
y(t)
˙ = dy(t)/dt es la velocidad del auto en el tiempo actual t.
As´ımismo, la aceleracin del auto se representa por la derivada de la velocidad, lo cual tambi´en
es la segunda derivada del desplazamiento dy(t)/dt
˙
= y¨(t) = d2 y(t)/dt2 .
Simplificando el modelo podemos representar el automovil como una masa que puede acelerar o
deacelerarutilizando el freno, lo cual se puede expresar por la siguiente ecuaci´on diferencial:
¨ = α(t) + β(t)
d(t)

(1.7)

donde α es la aceleraci´on y β a la desaceleraci´on debido al frenado.
Seleccionando variables de estado como posici´on y velocidad tenemos:
x1 (t) = d(t)
˙
x2 (t) = d(t)

(1.8)
(1.9)

u1 (t) = α(t)
u2 (t) = β(t)

(1.10)
(1.11)

y el control est´a dado como

de donde u1 y u2...