Areas

Área de superficie en paramétricas
Al hacer girar una curva en torno a un eje obtenemos un sólido de revolución, y sabemos que éste tendrá un área de superficie que podremos calcular con ayuda de las integrales.
En rectangulares lo hacíamos de la siguiente forma:
Si era en torno al eje x.
Si era en torno al eje y.
Como vemos en la ecuación está involucrada la longitud de arco. Sabiendonosotros que la ecuación para la longitud de arco en paramétricas es:

Sustituimos la ecuación de longitud de arco en la ecuación y sustituiremos f(x) o f (y) ahora por x(t) o y(t) y con esto encontramos la ecuación para el área de superficie en paramétricas

Si es en torno al eje x

Si es en torno al eje y





Ejemplo 1
Encuentre el área de superficie de de los puntosSabemos que se trata de un círculo y que sus ecuaciones en paramétricas son x=3cos(t), y=3sin(t)
Para saber de donde a donde varía t utilizaremos una de las ecuaciones para despejar t de la siguiente forma


Ahora necesitamos averiguar



Entonces ahora ya podemos sustituir en nuestra ecuación para el área de superficie y obtenemos








Ejemplo 2

Demostración deque el área de superficie de una esfera es
Si tenemos las ecuaciones y , entonces

y , entonces si rota alrededor del eje x



, y sabemos que , entonces





, y







Ejemplo 3
Calcule el área de la superficie generada al hacer girar un arco de la cicloride

en torno al eje x.









Integrales dobles en coordenadas polares
Cambio acoordenadas polares en una integral doble
Si deseamos integrar función definida dentro de una región , generalmente lo haríamos evaluando la integral doble

Sobre la región de integración que definiríamos utilizando los métodos que hemos visto antes en coordenadas rectangulares. Un problema que puede presentarse seria si se deseara trabajar con ciertas figuras circulares (p.ej. círculos,paraboloides, elipsoides, etc.), la definición de su región de integración se vuelve algo complicada.
Una forma en la que nos facilitamos el trabajo es el trabajar para coordenadas polares, dado que estas se adecuan de mejor manera a las formas circulares.
Recordemos las ecuaciones que relacionan coordenadas polares con rectangulares



Entonces, haciendo esta transformación, tendríamosque ahora la región esta definida como

el diferencial de área se definiría como

y la integral quedaría como

Teorema

Si es continua en un rectángulo dado por , donde entonces,













EJEMPLO 4

Calcular el área de la Región R encerrada por las curvas:

r=4senθ
r=4 cosθ
A=1/2 ∫_α^β▒〖(f(θ))〗^2 dθ



r=4senθ=4 cosθ esto quiere decir quetgθ=1 θ=π/4

A=1/2 ∫_(π/4)^(π/2)▒〖(4 cosθ)〗^2 dθ+∫_0^(π/4)▒〖〖(4senθ)〗^2 dθ〗


=8∫_(π/4)^(π/2)▒〖〖cos〗^2 θ〗 dθ+8∫_0^(π/4)▒〖〖sen〗^2 θdθ〗


=8∫_(π/4)^(π/2)▒(1+cos2θ)/2 dθ+8∫_0^(π/4)▒〖(1-cos2θ)/2 dθ〗


=π-2+π-2=2π-4






EJEMPLO 5
Encuentre el área de la región R que se encuentra fuera de la curva
r=3 cosθ y dentro de la curva r=1+ cosθ









Ecuaciones Polaresde las Cónicas

Las ecuaciones canónicas o estándar en coordenadas rectangulares tienen centro en el origen, focos y vértices sobre alguno de los ejes coordenados.
Para la parábola se usó que es un conjunto de puntos P tales que la distancia a un punto fijo F (foco) es igual a la distancia del punto P a una recta fija D (directriz). Entonces PF=PD
Para la elipse e hipérbola no se usó elconcepto de directriz. Pero si se definió posteriormente que excentricidad y que por la interpretación de lo que es y lo que es , para la elipse y para la hipérbola , unificando la definición de las cónicas en base a la excentricidad, como el conjunto de puntos P . Con
Usando este enfoque las ecuaciones canónicas de las cónicas en coordenadas polares se obtendrán tomando un foco en el polo...