Articulo 5

Tabla de Contenido

APUNTES DE ECUACIONES DIFERENCIALES 4

I. Definición de Ecuación Diferencial 4

II. Clasificación de la Ecuaciones diferenciales 5

II.1 Clasificación según el tipo 5

II.2 Clasificación según el Orden 5

II. 3 Clasificación según el Grado 6

III. Linealidad de La Ecuación Diferencial 7

III.1 Solución de Ecuaciones Lineales 8

III.2Problemas de Valor Inicial y de Valor Frontera 12

III.3 Soluciones singulares 14

III.4 Teorema de Existencia – Unicidad 15

III.5 Campo de Direcciones y el Método de las Isóclinas 18

IV. Métodos para Resolver EDO de Primer Orden 21

VI. 1 Separación de Variables 21

VI. 2 Simple Sustitución 24

VI.3 Ecuaciones Homogéneas 28

VI. 4 Ecuaciones CasiHomogéneas 37

VI. 5 Ecuaciones Diferenciales Exactas 40

V. Ecuación Lineal de de Primer Grado de Primer Orden 52

V.1 Método de Solución Fundamental 52

V.2 Factor Integrante 52

V.3 Ecuación de Bernoulli 57

V.4 Ecuación de Ricatti 62

VI. Aplicaciones de las Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden 63

V.1 Mezclas: Tanques 63

VI.2 Crecimiento yDecrecimiento 69

VI.3 Semivida 69

VI.4 Ecuación de Población 70

VI.5 Enfriamiento 72

VII. Aplicaciones de las Ecuaciones No Lineales 73

VII.1 Función Logística (poblaciones limitadas) 74

VII.2 Reacciones Químicas 77

VII.3 Trayectorias Ortogonales 83

VIII. Ecuaciones Lineales de Orden Superior 84

VIII.1 Operadores Diferenciales 84

VIII.2 Soluciónde una Ecuación Diferencial de Orden n 85

VIII.3 Solución Complementaria 88

VIII.4 Solución Particular 94

IX. Transformada de Laplace 115

IX.1 Transformada Inversa 116

IX.2 Primer Teorema de Traslación 116

IX.3 Derivada de una Transformada 117

IX.4 Transformada de una Derivada 118

IX.5 Teorema de la Convolución 119

X. Bibliografía 121APUNTES DE ECUACIONES DIFERENCIALES

Definición de Ecuación Diferencial

Entendemos por ecuación a toda igualdad de la forma siguiente:

Donde en ambos miembros de la igualdad puede haber variables. Ejemplos de igualdades son los siguientes:

[pic]

Existen igualdades que además son identidades, como por ejemplo:

[pic]

Ahora bien, si una ecuación contiene derivadas odiferenciales de una o más variables dependientes con respecto a una o más variables independientes, se dice que es una ecuación diferencial (ED).

En otras palabras, una ED es una ecuación que involucra derivadas de una función desconocida (que puede tener 1 ó más funciones) de una o más variables.

El problema que en este curso se aborda es dada una ecuación diferencial, encontrar de algunamanera una función F(x) que satisfaga la ecuación, es decir se desea resolver ecuaciones diferenciales.

Clasificación de la Ecuaciones diferenciales

Las ecuaciones diferenciales se clasifican de acuerdo con el tipo, el orden y la linealidad.

II.1 Clasificación según el tipo

• Ecuación Diferencial ordinaria (EDO)
Contiene sólo derivadas ordinarias de una o más variablesdependientes con respecto a una sola variable independiente. Es decir, la función desconocida “y” depende únicamente de una sólo variable “x”[1]:

[pic]

• Ecuación Diferencial Parcial (EDP)

Contiene las derivadas parciales de una o más variables dependientes de dos o más variables independientes. En otras palabras, la función desconocida depende de varias variables:
[pic]II.2 Clasificación según el Orden

Orden: Es el número de veces que se deriva (ejemplo: 1ª derivada, 2ª derivada, etc.). El orden de la más alta derivada en una ecuación diferencial se le llama orden de la ecuación. Por ejemplo, esta ecuación es una ecuación diferencial de segundo orden:

[pic]

II. 3 Clasificación según el Grado

Grado: Indica el exponente global de la derivada...