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UNIDAD 2 Geometría

2.4

2.4 La circunferencia y el círculo

1

La circunferencia y el círculo

OBJETIVOS


Calcular el área del círculo y el perímetro de la circunferencia.



Calcular el área y el perímetro de sectores y segmentos circulares.



Calcular la medida de ángulos y arcos en la circunferencia.



Resolver problemas de áreas y perímetros en los cualesestán relacionadas varias figuras
geométricas.

Definición

r

Una circunferencia es el conjunto de todos los puntos en un mismo plano, que están a una distancia
dada, de un punto dado, situado en el mismo plano. El punto dado se llama centro de la circunferencia.
El círculo es el conjunto de todos los puntos interiores a una circunferencia. El radio es el segmento
que une el centro concualquiera de los puntos de la circunferencia. La figura siguiente muestra una
circunferencia de radio r y centro en el punto O.

O

Algunos elementos en la circunferencia
Algunos de los elementos geométricos que se relacionan con la circunferencia son

Cuerda:
Es un segmento cuyos puntos extremos están sobre la circunferencia.
segmentos AB y CD son cuerdas.

En la figura de abajo losDiámetro:
Es una cuerda que pasa por el centro de la circunferencia. En la figura AB es un diámetro.

Secante:
Es una recta que contiene a una cuerda. En la figura las rectas AB y CD son secantes.

Tangente:
Es una recta que se encuentra en el mismo plano que la circunferencia y que la interseca solamente en
un punto. El punto de intersección se llama punto de tangencia. Una recta tangente esperpendicular al
radio en el punto de tangencia.
En la figura la recta EF es tangente a la circunferencia en el punto P, por lo tanto el radio OP es
perpendicular a la recta tangente en P.

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2.4 La circunferencia y el círculo

2

D
C
A

B
O

r

F
P

E

Área y perímetro
Las expresiones para calcular el área del círculo y el perímetro de lacircunferencia son

A   r2
P  2 r

Ejemplo 1: Círculo inscrito en triángulo equilátero
Encuentre el área de un círculo inscrito en un triángulo equilátero de lado 6 cm.

Solución
La figura muestra el círculo inscrito en el triángulo equilátero, donde l es el lado, H es
la altura del triángulo y r es el radio de la circunferencia.

Hr
H
r
r
l /2

Por el teorema de Pitágoras se puedecalcular la altura H ya que se conoce el lado del
triángulo l  6



H2  l
2

2

 l2

2
2
H 2  l2  l  3l
4
4

H 

3l2  3 l  3 (6)  3 3
4
2
2

Ahora observe que el triángulo que tiene base r e hipotenusa H  r es semejante al
triángulo de base l/2 e hipotenusa l ya que ambos son rectángulos y tienen un ángulo
agudo común. Al aplicar proporcionalidad entre sus ladosse tiene

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2.4 La circunferencia y el círculo

3

H r  l
l
r
2

Despejando r y sustituyendo los valores de l y H se obtiene

H r 2
r
H  r  2r
H  3r
r  H
3
r  3 3 
3

3

Entonces el área del círculo es
A   r2  

 3

2

 3

Ejemplo 2: Triángulo isósceles inscrito en círculo
Encuentre el área de un triángulo isósceles inscritoen un círculo de radio R si la altura del triángulo es
igual al doble de su base.

Solución
En la figura se muestra el triángulo inscrito, así como su altura y el radio del círculo
trazado a uno de los vértices del triángulo.

R
2b
2b  R

R

b
Al aplicar el teorema de Pitágoras en el triángulo rectángulo cuya hipotenusa es R,
uno de sus catetos es 2b  R y el otro cateto conlongitud b se tiene
2



R2  b
2

2

  2b  R 

2

Despejando la base b en términos del radio R se tiene
2
R2  b  4b2  4bR  R2
4

0  b2  16b2  16bR
Trasladando los términos al lado izquierdo y factorizando se tiene

17b2  16bR  0
b(17b  16R)  0
Como b no puede ser igual a cero se tiene que

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2.4 La circunferencia y el círculo

b ...