Astroide

ÍNDICE
GEOMETRÍA ANALÍTICA ………………………………………………………….... 3
HIPOCICLOIDES……………………………………………………………………….. 3
ASTROIDE…………………………………………………………………………….... 4
1. ECUACIÓN CARTESIANA………………………………………………… 5
2. ECUACIÓN PARAMÉTRICA……………………………………………… 7
3. COORDENADAS POLARES……………………………………………….. 9
4. TABLAS DE VALORES…………………………………………………….. 9
5. PERÍMETRO………………………………………………………………... 10
6.ÁREA…............................................................................................................. 10
ANEXOS………………………………………………………………………………. 11
REFERENCIAS……………………………………………………………………….. 12
GEOMETRÍA ANALÍTICA
Una rama de la matemática dedicada al estudio de las proporciones y singularidades de distintas figuras ubicadas en un plano en el espacio se define como geometría, disciplina que de acuerdo a su puntode referencia del estudio se puede clasificar en descriptiva, proyectiva, plana o geometría en el espacio, entre otras.
Uno de estos casos es la Geometría Analítica dedicada al estudio igualmente de figuras basado en un enfoque metódico que propone analizar las figuras a partir de un sistema de coordenadas y valiéndose de métodos propios de análisis matemático y del ámbito algebraico. Así, estageometría pretende obtener ecuaciones referenciales de los sistemas de coordenadas en función del lugar geométrico de la figura.
En resumen la geometría Analítica permite determinar el lugar geométrico de los puntos en el plano que forman parte de la ecuación del sistema de coordenadas dados mediante el valor en dos ejes denominados abscisa y ordenada, estableciendo una correspondencia entreconcepto geométrico de los puntos en el plano y el concepto algebraico de los pares ordenados de números. Así se forma la base de la geometría analítica.
HIPOCICLOIDES
Dentro de la Geometría Analítica Plana existe una sub-clasificación basada en el tipo de construcción, apareciendo el estudio de las curvas, las que a su vez se clasifican en Hipocicloides y Epicicloides.
Las curvas tipo hipocicloide,fueron descubiertas por Roemer (1674) en su búsqueda de la forma óptima para los engranajes. Fue estudiada por Johann Bernoulli. La doble generación fue advertida en primer lugar por Daniel Bernoulli en 1725.
Las Hipocicloides son curvas generadas por un punto fijo de una circunferencia giratoria, sin existencia de deslizamiento por la parte interna de otra circunferencia fija, de radio mayor que laprimera.
Es decir, es la curvatura que describe un punto fijo de una circunferencia que rueda, sin resbalar, permaneciendo siempre tangente interiormente a otra circunferencia fija. Se define paramétricamente de la siguiente manera:
En donde a representa el radio de la circunferencia fija y b el de la circunferencia giratoria.
Al existir diferencia de tamaños entre ambas circunferencias se crea unarelación de radios que la denominaremos k definida así por la fórmula , constante que nos ayudará a determinar el número de vértices que tendrá la figura siendo la relación un número racional para una curva cerrada y un irracional para una curva no cerrada.
ASTROIDE
Es un tipo de hipocicloide, una curva cerrada generada por movimiento con cuatro vértices. Se genera del movimiento rotatorio deuna circunferencia de radio r tangente a otra fija con una relación de 4 entre circunferencias.
Es decir, teniendo y se genera la constante que representa los cuatro vértices a formarse después del movimiento de la circunferencia mayor.


1. ECUACIÓN CARTESIANA
En donde la ecuación dada acorde a las coordenadas cartesianas es:

Siendo a el radio de lacircunferencia mayor, en este caso representaremos a a=1por facilidad de cálculo.
Entonces procedemos a despejar la variable y para encontrar el dominio de la función f(x) que nos servirá para determinar los valores posibles de x que se pueden utilizar para formar el astroide.

Con nuestra función f(x) podemos determinar ahora el dominio que lo hallaremos al restringir los valores dentro de la raíz para...